试卷2-数学组卷-自助组卷

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试卷2

数学

一、单选题（共 15 题），每题只有一个选项正确

1. 已知曲线

C : x^{2} + y^{2} = 16 (y > 0)

, 从

C

上任意一点

P

向

x

轴作垂线段

P P^{'}, P^{'}

为垂足,则线段

P P^{'}

的中点

M

的轨迹方程为

A.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y > 0)

B.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1 (y > 0)

C.

\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1 (y > 0)

D.

\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{8} = 1 (y > 0)

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2. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, O

为坐标原点, 过

F_{1}

作

C

的一条渐近线的垂线，垂足为

D

, 且

| {DF}_{2} | = 2 \sqrt{2} | OD |

, 则

C

的离心率为

A.

\sqrt{2}

B.

C.

\sqrt{5}

D.

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3. 已知双曲线的两个焦点分别为

F_{1} (0, 4), F_{2} (0, - 4)

, 点

(- 6, 4)

在该双曲线上, 则该双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.

\sqrt{2}

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4. 已知

a, b, c

成等差数列, 直线

a x + b y + c = 0

与圆

C : x^{2} + (y + 2)^{2} = 5

交于

A, B

两点, 则

| A B |

的最小值为

A.

B.

C.

D.

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5. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的右顶点为

A

, 若以点

A

为圆心, 以

b

为半径的圆与

C

的一条渐近线交于

M, N

两点, 且

\vec{O M} = - 3 \vec{O N}

, 则

C

的离心率为

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

\frac{\sqrt{6}}{2}

D.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

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6. 焦点在

(- 1, 0)

, 顶点在

(1, 0)

的抛物线方程是

A.

y^{2} = 8 (x + 1)

B.

y^{2} = - 8 (x + 1)

C.

y^{2} = 8 (x - 1)

D.

y^{2} = - 8 (x - 1)

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7. 如果双曲线的焦距为 6 , 两条准线间的距离为 4 , 那么该双曲线的离心率为

A.

\frac{3}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{\sqrt{6}}{2}

D.

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8. 参数方程

{\begin{cases} x = | \cos \frac{θ}{2} + \sin \frac{θ}{2} | \\ y = \frac{1}{2} (1 + \sin θ) \end{cases} (0 < θ < 2 π)

表示

A.

双曲线的一支, 这支过点

(1, \frac{1}{2})

B.

抛物线的一部分, 这部分过点

(1, \frac{1}{2})

C.

双曲线的一支, 这支过点

(- 1, \frac{1}{2})

D.

抛物线的一部分, 这部分过点

(- 1, \frac{1}{2})

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9. 如果方程

x^{2} + k y^{2} = 2

表示焦点在

y

轴上的椭圆，那么实数

k

的取值范围是

A.

(0, + \infty)

B.

(0, 2)

C.

(1, + \infty)

D.

(0, 1)

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10. 设

F_{1}

和

F_{2}

为双曲线

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

的两个焦点, 点

P

在双曲线上且满足

∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}

,则

△ F_{1} P F_{2}

的面积是

A.

B.

\frac{\sqrt{5}}{2}

C.

D.

\sqrt{5}

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11. 中心在原点, 准线方程为

x = \pm 4

, 离心率为

\frac{1}{2}

的椭圆方程是

A.

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1

B.

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

C.

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

D.

x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1

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12. 椭圆

25 x^{2} - 150 x + 9 y^{2} + 18 y + 9 = 0

的两个焦点坐标是

A.

(- 3, 5), (- 3, - 3)

B.

(3, 3), (3, - 5)

C.

(1, 1), (- 7, 1)

D.

(7, - 1), (- 1, - 1)

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13. 设双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < a < b)

的半焦距为

c

, 直线

l

过

(a, 0), (0, b)

两点. 已知原点到直线

l

的距离为

\frac{\sqrt{3}}{4} c

, 则双曲线的离心率为

A.

B.

\sqrt{3}

C.

\sqrt{2}

D.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

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14. 椭圆

C

与椭圆

\frac{(x - 3)^{2}}{9} + \frac{(y - 2)^{2}}{4} = 1

关于直线

x + y = 0

对称, 椭圆

C

的方程是

A.

\frac{(x + 2)^{2}}{4} + \frac{(y + 3)^{2}}{9} = 1

B.

\frac{(x - 2)^{2}}{9} + \frac{(y - 3)^{2}}{4} = 1

C.

\frac{(x + 2)^{2}}{9} + \frac{(y + 3)^{2}}{4} = 1

D.

\frac{(x - 2)^{2}}{4} + \frac{(y - 3)^{2}}{9} = 1

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15. 椭圆

\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1

的焦点为

F_{1}

和

F_{2}

, 点

P

在椭圆上, 如果线段

P F_{1}

的中点在

y

轴上, 那么

| {PF}_{1} |

是

| {PF}_{2} |

的

A.

7 倍

B.

5 倍

C.

4 倍

D.

3 倍

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

16. 设

F

是抛物线

C : y^{2} = 4 x

的焦点, 直线

l : x = t y + 1

与抛物线

C

交于

A, B

两点,

O

为坐标原点, 则下列结论正确的是

A.

| AB | \geq 4

B.

\vec{O A} \cdot \vec{O B}

可能大于 0

C.

若点

P (2, 2)

, 则

| PA | + | AF | \geq 3

D.

若在抛物线上存在唯一一点

Q

(异于

A, B

), 使得

Q A ⊥ Q B

, 则

t = \pm \sqrt{3}

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17. 已知

F_{1}, F_{2}

是椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两个焦点,点

P

在椭圆

C

上, 若

P F_{1} ⊥ P F_{2}, △ F_{1} P F_{2}

的面积等于 4 . 则下列结论正确的是

A.

若点

P

是椭圆的短轴顶点, 则楠圆

C

的标准方程为

\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1

B.

若

P

是动点, 则

b

的值恒为 2

C.

若

P

是动点, 则椭圆的离心率的取值范围是

[\frac{1}{2}, 1)

D.

若

P

是动点, 则

| P F_{1} | + | P F_{2} |

的取值范围是

[4 \sqrt{2}, + \infty)

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三、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

18. 设点

F

为抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点, 过点

F

且斜率为

\sqrt{5}

的直线与

C

交于

A, B

两点 (

O

为坐标原点).
（1）求抛物线

C

的方程;
（2）过点

E (0, 2)

作两条斜率分别为

k_{1}, k_{2}

的直线

l_{1}, l_{2}

, 它们分别与抛物线

C

交于点

P, Q

和

R, S

. 已知

| E P | \cdot | E Q | = | E R | \cdot | E S |

, 问: 是否存在实数

λ

, 使得

k_{1} + λ k_{2}

为定值?若存在, 求

λ

的值, 若不存在, 请说明理由.

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19. 设椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左. 右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, P

是

C

上的点

P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}, ∠ P F_{1} F_{2} = 30^{\circ}

, 则

C

的离心率为

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20. 双曲线

\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1

的准线方程是

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21. 焦点为

F_{1} (- 2, 0)

和

F 2 (6, 0)

, 离心率为 2 的双曲线的方程是

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22. 若双曲线

\frac{x^{2}}{9 k^{2}} - \frac{y^{2}}{4 k^{2}} = 1

与圆

x^{2} + y^{2} = 1

没有公共点, 则实数

k

的取值范围为

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23. 已知点

(- 2, 3)

与抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点的距离是 5 , 则

p =

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24. 设圆过双曲线

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1

的一个顶点和一个焦点, 圆心在此双曲线上, 则圆心到双曲线中心的距离是

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25. 设椭圆

x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F_{1}

, 右准线为

l_{1}

。若过

F_{1}

且垂直于

x

轴的弦的长等于点

F_{1}

到

1_{1}

的距离, 则椭圆的离心率是

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26. |椭圆

C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右顶点分别为

A, B

, 点

P

在椭圆上第一象限内, 记

∠ P A B = α, ∠ P B A = β

, 存在圆

N

经过点

P, A, B

, 且

\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 0, \tan^{α} +_{\tan} β = 8

, 则椭圆

C

的离心率为

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四、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

27. 已知

A (0, 3)

和

P (3, \frac{3}{2})

为椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

上两点
(1) 求

C

的离心率:
(2) 若过

P

的直线

l

交

C

于另一点

B

, 且

△ A B P

的面积为 9 , 求

l

的方程.

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28. 已知双曲线

C : x^{2} - y^{2} = m (m > 0)

, 点

P_{1} (5, 4)

在

C

上,

k

为常数,

0 < k < 1

. 按照如下方式依次构造点

P_{n} (n = 2, 3, \dots)

, 过点

P_{n - 1}

作斜率为

k

的直线与

C

的左支交于点

Q_{n - 1}

, 令

P_{n}

为

Q_{n - 1}

关于

y

轴的对称点, 记

P_{n}

的坐标为

(x_{n}, y_{n})

.
(1) 若

k = \frac{1}{2}

, 求

x_{2}, y_{2}

.
(2) 证明: 数列

{x_{n} - y_{n}}

是公比为

\frac{1 + k}{1 - k}

的等比数列.
(3) 设

S_{n}

为

△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}

的面积, 证明: 对任意的正整数

n, S_{n} = S_{n + 1}

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29. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F

, 点

M (1, \frac{3}{2})

在椭圆

C

上, 且

M F ⊥ x

轴.
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2)

P (4, 0)

, 过

P

的直线与椭圆

C

交于

A, B

两点,

N

为

F P

的中点, 直线

N B

与

M F

交于

Q

, 证明:

A Q ⊥ y

轴.

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30. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 点

D (x_{0}, 2)

在抛物线

C

上, 且

| D F | = 2

.
(1) 求抛物线

C

的标准方程;
(2) 拋物线的准线与

x

轴交于点

K

, 过

K

的直线

l

交拖物线

C

于

M, N

两点, 且

\vec{K M} = λ \vec{K N} (λ \in (1, 2])

, 点

G

为线段

M N

的垂直平分线与

x

轴的交点,求点

G

的横坐标

x_{G}

的取值范围.

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31. 已知曲线

C

上的点到点

F (- 1, 0)

的距离比到直线

x = 3

的距离小

2, O

为坐标原点.直线

l

过定点

A (0, 1)

.
(1) 直线

l

与曲线

C

仅有一个公共点, 求直线

l

的方程;
(2) 曲线

C

与直线

l

交于

M, N

两点, 试分别判断直线

O M, O N

的斜率之和、斜率之积是否为定值? 并说明理由.

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32. 双曲线的中心在坐标原点

O

, 焦点在

x

轴上, 过双曲线右焦点且斜率为

\sqrt{\frac{3}{5}}

的直线交双曲线于

P 、 Q

两点. 若

O P ⊥ O Q, | P Q | = 4

, 求双曲线的方程.

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33. 已知椭圆的中心在坐标原点

O

, 焦点在坐标轴上, 直线

y = x + 1

与该椭圆相交于

P

和

Q

,且

O P ⊥ O Q, | P Q | = \frac{\sqrt{10}}{2}

. 求椭圆的方程.

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34. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), A 、 B

是椭圆上的两点, 线段

A B

的垂直平分线与 x 轴相交于点

P (x 0, 0)

. 证明

- \frac{a^{2} - b^{2}}{a} < x_{0} < \frac{a^{2} - b^{2}}{a}

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35. 在面积为 1 的

△ PMN

中,

\tan ∠ PMN = \frac{1}{2}, \tan ∠ MNP = - 2

. 建立适当的坐标系, 求以

M, N

为焦点且过点 P 的椭圆方程.

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36. 已知直线 1 过坐标原点, 抛物线

C

顶点在原点, 焦点在

X

轴正半轴上. 若点

A (- 1, 0)

和点

B (0, 8)

关于

l

的对称点都在

C

上,求直线

l

和拋物线

C

的方程.

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37. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{16} = 1

, 直线

l : \frac{x}{12} + \frac{y}{8} = 1 . P

是 1 上点, 射线

O P

交椭圆于点

R

, 又点

Q

在

O P

上且满足

| O Q | \cdot | O P | = | O R |

, 当点

P

在 1 上移动时, 求点

Q

的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线。

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38. 已知

l_{1}, l_{2}

是过点

P (- \sqrt{2}, 0)

的两条互相垂直的直线, 且

l_{1}, l_{2}

与双曲线

y^{2} - x^{2} = 1

各有两个交点, 分别为

A_{1}, B_{1}

和

A_{2}, B_{2}

.
( I ) 求

l_{1}

的斜率

k_{1}

的取值范围;
( II ) 若

A_{1}

恰是双曲线的一个顶点, 求

| A_{2} B_{2} |

的值.

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39. 如图, 直线

l_{1}

和

l_{2}

相交于点

M, l_{1} ⊥ l_{2}

, 点

N \in l_{1}

。以

A, B

为端点的曲线段

C

上的任一点到

l_{2}

的距离与到点

N

的距离相等, 若

△ AMN

为锐角三角形,

| AM | = \sqrt{17}, | AN | = 3

且

| BN | = 6

。建立适当的坐标系, 求曲线段

C

的方程。

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40. 如图，给出定点

A (a, 0) (a > 0)

和直线

l : x = - 1, B

是直线

l

上的动点,

∠ B O A

的角平分线交

A B

于点

C

求点

C

的轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与

a

值的关系。

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