一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知曲线 $C: x^2+y^2=16(y>0)$, 从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{\prime}, P^{\prime}$ 为垂足,则线段 $P P^{\prime}$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1(y>0)$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1(y>0)$
$\text{C.}$ $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1(y>0)$
$\text{D.}$ $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{8}=1(y>0)$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点分别为 $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2, \mathrm{O}$ 为坐标原点, 过 $\mathrm{F}_1$ 作 $\mathrm{C}$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $\mathrm{D}$, 且 $\left|\mathrm{DF}_2\right|=2 \sqrt{2}|\mathrm{OD}|$, 则 $\mathrm{C}$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ 5
已知双曲线的两个焦点分别为 $F_1(0,4), F_2(0,-4)$, 点 $(-6,4)$ 在该双曲线上, 则该双曲线的离心率为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知 $a, b, c$ 成等差数列, 直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $C: x^2+(y+2)^2=5$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $|A B|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为 $A$, 若以点 $A$ 为圆心, 以 $b$ 为半径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点, 且 $\overrightarrow{O M}=-3 \overrightarrow{O N}$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
焦点在 $(-1,0)$, 顶点在 $(1,0)$ 的抛物线方程是
$\text{A.}$ $y^2=8(x+1)$
$\text{B.}$ $y^2=-8(x+1)$
$\text{C.}$ $y^2=8(x-1)$
$\text{D.}$ $y^2=-8(x-1)$
如果双曲线的焦距为 6 , 两条准线间的距离为 4 , 那么该双曲线的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{D.}$ 2
参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\left|\cos \frac{\theta}{2}+\sin \frac{\theta}{2}\right| \\ y=\frac{1}{2}(1+\sin \theta)\end{array} \quad(0 < \theta < 2 \pi)\right.$ 表示
$\text{A.}$ 双曲线的一支, 这支过点$(1, \frac{1}{2} )$
$\text{B.}$ 抛物线的一部分, 这部分过点$(1, \frac{1}{2} )$
$\text{C.}$ 双曲线的一支, 这支过点$(-1, \frac{1}{2} )$
$\text{D.}$ 抛物线的一部分, 这部分过点$(-1, \frac{1}{2} )$
如果方程 $x^2+k y^2=2$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，那么实数 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0,2)$
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(0,1)$
设 $F_1$ 和 $F_2$ 为双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的两个焦点, 点 $P$ 在双曲线上且满足 $\angle F_1 P F_2=90^{\circ}$,则 $\triangle F_1 P F_2$ 的面积是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
中心在原点, 准线方程为 $x= \pm 4$, 离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆方程是
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}+y^2=1$
$\text{D.}$ $x^2+\frac{y^2}{4}=1$
椭圆 $25 x^2-150 x+9 y^2+18 y+9=0$ 的两个焦点坐标是
$\text{A.}$ $(-3,5),(-3,-3)$
$\text{B.}$ $(3,3),(3,-5)$
$\text{C.}$ $(1,1),(-7,1)$
$\text{D.}$ $(7,-1),(-1,-1)$
设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(0 < a < b)$ 的半焦距为 $c$, 直线 $l$ 过 $(a, 0),(0, b)$ 两点. 已知原点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4} c$, 则双曲线的离心率为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
椭圆 $C$ 与椭圆 $\frac{(x-3)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1$ 关于直线 $x+y=0$ 对称, 椭圆 $C$ 的方程是
$\text{A.}$ $\frac{(x+2)^2}{4}+\frac{(y+3)^2}{9}=1$
$\text{B.}$ $\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$
$\text{C.}$ $\frac{(x+2)^2}{9}+\frac{(y+3)^2}{4}=1$
$\text{D.}$ $\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}=1$
椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 的焦点为 $\mathrm{F}_1$ 和 $\mathrm{F}_2$, 点 $P$ 在椭圆上, 如果线段 $P F_1$ 的中点在 $y$ 轴上, 那么 $\left|\mathrm{PF}_1\right|$ 是 $\left|\mathrm{PF}_2\right|$ 的
$\text{A.}$ 7 倍
$\text{B.}$ 5 倍
$\text{C.}$ 4 倍
$\text{D.}$ 3 倍
二、多选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
设 $\mathrm{F}$ 是抛物线 $\mathrm{C}: y^2=4 x$ 的焦点, 直线 $l: x=t y+1$ 与抛物线 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, $\mathrm{O}$为坐标原点, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $|\mathrm{AB}| \geq 4$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 可能大于 0
$\text{C.}$ 若点 $\mathrm{P}(2,2)$, 则 $|\mathrm{PA}|+|\mathrm{AF}| \geq 3$
$\text{D.}$ 若在抛物线上存在唯一一点 $Q$ (异于 $A, B$ ), 使得 $Q A \perp Q B$, 则 $t= \pm \sqrt{3}$
已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点,点 $P$ 在椭圆 $C$ 上, 若 $P F_1 \perp P F_2, \triangle F_1 P F_2$ 的面积等于 4 . 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若点 $P$ 是椭圆的短轴顶点, 则楠圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ 若 $P$ 是动点, 则 $b$ 的值恒为 2
$\text{C.}$ 若 $P$ 是动点, 则椭圆的离心率的取值范围是 $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{D.}$ 若 $P$ 是动点, 则 $\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|$ 的取值范围是 $[4 \sqrt{2},+\infty)$
三、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设点 $F$ 为抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点, 过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{5}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点 ( $O$ 为坐标原点).
（1）求抛物线 $\mathrm{C}$ 的方程;
（2）过点 $\mathrm{E}(0,2)$ 作两条斜率分别为 $\mathrm{k}_1, \mathrm{k}_2$ 的直线 $\mathrm{l}_1, \mathrm{l}_2$, 它们分别与抛物线 $\mathrm{C}$ 交于点 $P, Q$ 和 $R, S$. 已知 $|E P| \cdot|E Q|=|E R| \cdot|E S|$, 问: 是否存在实数 $\lambda$, 使得 $k_1+\lambda k_2$ 为定值?若存在, 求 $\lambda$ 的值, 若不存在, 请说明理由.
设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左. 右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 是 $C$ 上的点 $P F_2 \perp F_1 F_2, \angle P F_1 F_2=30^{\circ}$, 则 $C$ 的离心率为
双曲线 $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ 的准线方程是
焦点为 $F_1(-2,0)$ 和 $F 2(6,0)$, 离心率为 2 的双曲线的方程是
若双曲线 $\frac{x^2}{9 k^2}-\frac{y^2}{4 k^2}=1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 没有公共点, 则实数 $k$ 的取值范围为
已知点 $(-2,3)$ 与抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点的距离是 5 , 则 $p=$
设圆过双曲线 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$ 的一个顶点和一个焦点, 圆心在此双曲线上, 则圆心到双曲线中心的距离是
设椭圆 $x^2 / a^2+y^2 / b^2=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F_1$, 右准线为 $l_1$ 。若过 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的弦的长等于点 $\mathrm{F}_1$ 到 $1_1$ 的距离, 则椭圆的离心率是
|椭圆 $C: \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$, 点 $P$ 在椭圆上第一象限内, 记 $\angle P A B=\alpha, \angle P B A=\beta$, 存在圆 $N$ 经过点 $P, A, B$, 且 $\overrightarrow{N A} \cdot \overrightarrow{N B}=0, \tan ^\alpha+{ }_{\tan } \beta=8$, 则椭圆 $C$的离心率为
四、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上两点
(1) 求 $C$ 的离心率:
(2) 若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$, 且 $\triangle A B P$ 的面积为 9 , 求 $l$ 的方程.
已知双曲线 $C: x^2-y^2=m(m>0)$, 点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上, $k$ 为常数, $0 < k < 1$. 按照如下方式依次构造点 $P_n(n=2,3, \cdots)$, 过点 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$, 令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点, 记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n, y_n\right)$.
(1) 若 $k=\frac{1}{2}$, 求 $x_2, y_2$.
(2) 证明: 数列 $\left\{x_n-y_n\right\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列.
(3) 设 $S_n$ 为 $\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积, 证明: 对任意的正整数 $n, S_n=S_{n+1}$.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上, 且 $M F \perp x$ 轴.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) $P(4,0)$, 过 $P$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $N$ 为 $F P$ 的中点, 直线 $N B$ 与 $M F$ 交于 $Q$, 证明: $A Q \perp y$ 轴.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $D\left(x_0, 2\right)$ 在抛物线 $C$ 上, 且 $|D F|=2$.
(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程;
(2) 拋物线的准线与 $x$ 轴交于点 $K$, 过 $K$ 的直线 $l$ 交拖物线 $C$ 于 $M, N$ 两点, 且 $\overrightarrow{K M}=\lambda \overrightarrow{K N}(\lambda \in(1,2])$, 点 $G$ 为线段 $M N$ 的垂直平分线与 $x$ 轴的交点,求点 $G$ 的横坐标 $x_G$ 的取值范围.
已知曲线 $C$ 上的点到点 $F(-1,0)$ 的距离比到直线 $x=3$ 的距离小 $2, O$ 为坐标原点.直线 $l$ 过定点 $A(0,1)$.
(1) 直线 $l$ 与曲线 $C$ 仅有一个公共点, 求直线 $l$ 的方程;
(2) 曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $M, N$ 两点, 试分别判断直线 $O M, O N$ 的斜率之和、斜率之积是否为定值? 并说明理由.
双曲线的中心在坐标原点 $O$, 焦点在 $x$ 轴上, 过双曲线右焦点且斜率为 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 的直线交双曲线于 $P 、 Q$ 两点. 若 $O P \perp O Q,|P Q|=4$, 求双曲线的方程.
已知椭圆的中心在坐标原点 $O$, 焦点在坐标轴上, 直线 $y=x+1$ 与该椭圆相交于 $P$ 和 $Q$,且 $O P \perp O Q,|P Q|=\frac{\sqrt{10}}{2}$. 求椭圆的方程.
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>b>0), A 、 B$ 是椭圆上的两点, 线段 $A B$ 的垂直平分线与 x 轴相交于点 $\mathrm{P}(\mathrm{x} 0,0)$. 证明 $-\frac{a^2-b^2}{a} < x_0 < \frac{a^2-b^2}{a}$
在面积为 1 的 $\triangle \mathrm{PMN}$ 中, $\tan \angle \mathrm{PMN}=\frac{1}{2}, \tan \angle \mathrm{MNP}=-2$. 建立适当的坐标系, 求以 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为焦点且过点 P 的椭圆方程.
已知直线 1 过坐标原点, 抛物线 $C$ 顶点在原点, 焦点在 $X$ 轴正半轴上. 若点 $A(-1,0)$ 和点 $B(0,8)$ 关于 $l$ 的对称点都在 $C$ 上,求直线 $l$ 和拋物线 $C$ 的方程.
已 知椭圆 $\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1$, 直线 $l: \frac{x}{12}+\frac{y}{8}=1 . P$ 是 1 上点, 射线 $O P$ 交椭圆于点 $R$, 又点 $Q$ 在 $O P$ 上且满足 $|O Q| \cdot|O P|=|O R|$, 当点 $P$ 在 1 上移动时, 求点 $Q$ 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线。
已知 $l_1, l_2$ 是过点 $P(-\sqrt{2}, 0)$ 的两条互相垂直的直线, 且 $l_1, l_2$ 与双曲线 $y^2-x^2=1$ 各有两个交点, 分别为 $A_1, B_1$ 和 $A_2, B_2$.
( I ) 求 $l_1$ 的斜率 $k_1$ 的取值范围;
( II ) 若 $A_1$ 恰是双曲线的一个顶点, 求 $\left|A_2 B_2\right|$ 的值.
如图, 直线 $l_1$ 和 $l_2$ 相交于点 $M, l_1 \perp l_2$, 点 $N \in l_1$ 。以 $A, B$ 为端点的曲线段 $C$ 上的任一点到 $l_2$的距离与到点 $N$ 的距离相等, 若 $\triangle \mathrm{AMN}$ 为锐角三角形, $|\mathrm{AM}|=\sqrt{17},|\mathrm{AN}|=3$ 且 $|\mathrm{BN}|=6$ 。建立适当的坐标系, 求曲线段 $C$ 的方程。
如图，给出定点 $A (a,0) (a>0)$ 和直线 $l : x=-1, B$ 是直线 $l$ 上的动点, $\angle B O A$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $C$ 求点 $C$ 的轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与 $a$ 值的关系。
