一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 为已知连续函数, $I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$, 其中 $t>0, s>0$, 则 $I$ 的值 ( )
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$.
$\text{B.}$ 依赖于 $s, t, x$.
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$, 不依赖于 $s$.
$\text{D.}$ 依赖于 $s$, 不依赖于 $t$.
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$, 则$F'(x)$ 等于
$\text{A.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\text{B.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{C.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{D.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个领域内连续, 且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$, 则在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不可导
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ 取得极大值
$\text{D.}$ 取得极小值
曲线 $y=\frac{1+\mathrm{e}^{-x^{2}}}{1-\mathrm{e}^{-x^{2}}}(\quad)$
$\text{A.}$ 没有渐近线.
$\text{B.}$ 仅有水平渐近线.
$\text{C.}$ 仅有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
函数 $f(x)=|x \sin x| e^{\cos x},-\infty < x < +\infty$ 是
$\text{A.}$ 有界函数
$\text{B.}$ 单调函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 偶函数
函数 $f(x)=x \sin x$ 是
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时的无穷大
$\text{B.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有极限
$\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界
$\text{D.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界
下列函数在定义域内连续的是
$\text{A.}$ $f(x)=\ln x+\sin x$
$\text{B.}$ $f(x)= \begin{cases}\sin x, & x \leq 0 \\ \cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{C.}$ $f(x)= \begin{cases}x+1, & x < 0 \\ 0, & x=0 \\ x-1, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{|x|}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$
若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导， $x_1, x_2$ 是区间内任意两点，且 $x_1 < x_2$ ，则至少存在一点 $\xi$ ，使得
$\text{A.}$ $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a), a < \xi < b$
$\text{B.}$ $f(b)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(b-x_1\right), x_1 < \xi < b$
$\text{C.}$ $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-x_1\right), x_1 < \xi < x_2$
$\text{D.}$ $f\left(x_2\right)-f(a)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-a\right), a < \xi < x_2$
若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上皆可导，且 $f(x) < g(x)$ ，则必有
$\text{A.}$ $f(-x)>g(-x)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < g^{\prime}(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) < \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$
$\text{D.}$ $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t < \int_0^x g(t) \mathrm{d} t$
若函数 $y=f(x)$ 有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，该函数在 $x=x_0$ 处的微分 $\mathrm{d} y$ 是
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小
$\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
当 $x=$ （ ） 时, 函数 $y=x 2^{x}$ 取得极小值.
已知 $f^{\prime}(3)=2$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=$
设 $a$ 为非零常数, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^{x}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ （ ）
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+a x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小, 则常数 $a=$
函数 $F(x)=\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t(x>0)$ 的单调减少区间为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n-2}{n+1}\right)^n=$
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^x(\sin x+\cos x), & x>0 \\ 2 x+\alpha, & x \leq 0\end{array}\right.$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上的连续函数，则 $\alpha=$
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $\int_0^{x^3-1} f(t) \mathrm{d} t=x$ ，则 $f(7)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x=$
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $f(x)=x+2 \int_0^1 f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$
三、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$.
(1) 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x e^x\right)^{\frac{1}{x}}$.
(2) 求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arc} \cot x}$
已知 $f(x)=e^{x^2}, f[\varphi(x)]=1-x$ ，且 $\varphi(x) \geq 0$ ，求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
确定常数 $a$ 和 $b$ ，使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}a x+b, x>1 \\ x^2, x \leq 1\end{array}\right.$ ，处处有导.
(1) 证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\eta \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\eta)(b-a) .
$$
(2) 若函数 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足
$$
\varphi(2)>\varphi(1), \varphi(2)>\int_2^3 \varphi(x) \mathrm{d} x ，
$$
则至少存在一点 $\xi \in(1,3)$, 使得 $\varphi^{\prime \prime}(\xi) < 0$.
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
（2）证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
(2) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(\mathrm{n})=A$.
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
(2) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=\frac{1}{3}$. 证明: 存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=\xi^2+\eta^2$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内存在二阶导数，且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=f(2)+f(3)$.
(1)证明：存在 $\eta \in(0,2)$ ，使得 $f(\eta)=f(0)$.
(2)证明: 存在 $\xi \in(0,3)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$.
证明方程 $4 \arctan x-x+\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}=0$ 恰有两个实根.
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.