试卷15-数学组卷-自助组卷

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试卷15

数学

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

为已知连续函数,

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

, 其中

t > 0, s > 0

, 则

I

的值 ( )

A.

依赖于

s

和

t

.

B.

依赖于

s, t, x

.

C.

依赖于

t

和

x

, 不依赖于

s

.

D.

依赖于

s

, 不依赖于

t

.

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2. 设

f (x)

是连续函数, 且

f^{'} (x) = [f (x)]^{2}

, 则

F^{'} (x)

等于

A.

- e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

B.

- e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

C.

e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

D.

e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

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3. 已知

f (x)

在

x = 0

的某个领域内连续, 且

f (0) = 0, lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{1 - \cos x} = 2

, 则在点

x = 0

处

A.

不可导

B.

可导, 且

f^{'} (0) = 0

C.

取得极大值

D.

取得极小值

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4. 曲线

y = \frac{1 + e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}} ()

A.

没有渐近线.

B.

仅有水平渐近线.

C.

仅有铅直渐近线.

D.

既有水平渐近线又有铅直渐近线.

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5. 函数

f (x) = | x \sin x | e^{\cos x}, - \infty < x < + \infty

是

A.

有界函数

B.

单调函数

C.

周期函数

D.

偶函数

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6. 函数

f (x) = x \sin x

是

A.

当

x \to \infty

时的无穷大

B.

当

x \to \infty

时有极限

C.

在

(- \infty, + \infty)

内有界

D.

在

(- \infty, + \infty)

内无界

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7. 下列函数在定义域内连续的是

A.

f (x) = \ln x + \sin x

B.

f (x) = {\begin{cases} \sin x, & x \leq 0 \\ \cos x, & x > 0 \end{cases}

C.

f (x) = {\begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x - 1, & x > 0 \end{cases}

D.

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{| x |}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{array}

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8. 若函数

f (x)

在区间

(a, b)

内可导，

x_{1}, x_{2}

是区间内任意两点，且

x_{1} < x_{2}

，则至少存在一点

ξ

，使得

A.

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a), a < ξ < b

B.

f (b) - f (x_{1}) = f^{'} (ξ) (b - x_{1}), x_{1} < ξ < b

C.

f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1}), x_{1} < ξ < x_{2}

D.

f (x_{2}) - f (a) = f^{'} (ξ) (x_{2} - a), a < ξ < x_{2}

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9. 若

f (x)

与

g (x)

在

(- \infty, \infty)

上皆可导，且

f (x) < g (x)

，则必有

A.

f (- x) > g (- x)

B.

f^{'} (x) < g^{'} (x)

C.

lim_{x \to x_{0}} f (x) < lim_{x \to x_{0}} g (x)

D.

\int_{0}^{x} f (t) d t < \int_{0}^{x} g (t) d t

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10. 若函数

y = f (x)

有

f^{'} (x_{0}) = \frac{1}{2}

，则

Δ x \to 0

时，该函数在

x = x_{0}

处的微分

d y

是

A.

与

Δ x

等价的无穷小

B.

与

Δ x

同阶的无穷小

C.

比

Δ x

低阶的无穷小

D.

比

Δ x

高阶的无穷小

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11. 当

x \to 0

时,

f (x) = x - \sin a x

与

g (x) = x^{2} \ln (1 - b x)

是等价无穷小量，则

A.

a = 1, b = - 1 / 6

B.

a = 1, b = 1 / 6

C.

a = - 1, b = - 1 / 6

D.

a = - 1, b = 1 / 6

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12. 当

x \to 0

时,

f (x) = x - \sin a x

与

g (x) = x^{2} \ln (1 - b x)

是等价无穷小量，则

A.

a = 1, b = - 1 / 6

B.

a = 1, b = 1 / 6

C.

a = - 1, b = - 1 / 6

D.

a = - 1, b = 1 / 6

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 当

x =

（　　）时, 函数

y = x 2^{x}

取得极小值.

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14. 已知

f^{'} (3) = 2

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 - h) - f (3)}{2 h} =

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15. 设

f (x)

是连续函数, 且

f (x) = x + 2 \int_{0}^{1} f (t) d t

, 则

f (x) =

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16. 设

a

为非零常数, 则

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + a}{x - a})}^{x} =

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17. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1, & | x | \leq 1, \\ 0, & | x | > 1, \end{cases}

则

f [f (x)] =

（　　）

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18. 已知当

x \to 0

时,

{(1 + a x^{2})}^{\frac{1}{3}} - 1

与

\cos x - 1

是等价无穷小, 则常数

a =

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19. 函数

F (x) = \int_{1}^{x} (2 - \frac{1}{\sqrt{t}}) d t (x > 0)

的单调减少区间为

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20.

lim_{n \to \infty} {(\frac{n - 2}{n + 1})}^{n} =

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21. 若

f (x) = {\begin{cases} e^{x} (\sin x + \cos x), & x > 0 \\ 2 x + α, & x \leq 0 \end{cases}

是

(- \infty, \infty)

上的连续函数，则

α =

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22. 设

f (x)

是连续函数，且

\int_{0}^{x^{3} - 1} f (t) d t = x

，则

f (7) =

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23.

lim_{x \to 0} x \cot 2 x =

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24. 设

f (x)

是连续函数，且

f (x) = x + 2 \int_{0}^{1} f (t) d t

，则

f (x) =

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三、解答题（共 16 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

25. 已知

f (x) = e^{x^{2}}, f [φ (x)] = 1 - x

且

φ (x) ⩾ 0

, 求

φ (x)

并写出它的定义域.

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26. 求

lim_{x \to 0^{+}} (\cos \sqrt{x})^{\frac{π}{x}}

.

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27. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1})

.

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28. (1) 求极限

lim_{x \to 0} {(1 + x e^{x})}^{\frac{1}{x}}

.
(2) 求极限

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{x})}{arc \cot x}

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29. 已知

f (x) = e^{x^{2}}, f [φ (x)] = 1 - x

，且

φ (x) \geq 0

，求

φ (x)

并写出它的定义域.

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30. 确定常数

a

和

b

，使函数

f (x) = {\begin{matrix} a x + b, x > 1 \\ x^{2}, x \leq 1 \end{matrix}

，处处有导.

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31. (1) 证明积分中值定理：若函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续，则至少存在一点

η \in [a, b]

，使得

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (η) (b - a) .

(2) 若函数

φ (x)

具有二阶导数，且满足

φ (2) > φ (1), φ (2) > \int_{2}^{3} φ (x) d x ，

则至少存在一点

ξ \in (1, 3)

, 使得

φ^{''} (ξ) < 0

.

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32. (1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数

f (x)

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导，则存在

ξ \in (a, b)

，使得

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a);

（2）证明: 若函数

f (x)

在

x = 0

处连续，在

(0, δ) (δ > 0)

内可导，且

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = A

，则

f_{+}^{'} (0)

存在，且

f_{+}^{'} (0) = A

.

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33. (1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数

f (x)

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导，则存在

ξ \in (a, b)

，使得

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a);

(2) 证明: 若函数

f (x)

在

x = 0

处连续，在

(0, δ) (δ > 0)

内可导，且

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = A

，则

f_{+}^{'} (0)

存在，且

f_{+}^{'} (n) = A

.

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34. (1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数

f (x)

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导，则存在

ξ \in (a, b)

，使得

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a);

(2) 证明: 若函数

f (x)

在

x = 0

处连续，在

(0, δ) (δ > 0)

内可导，且

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = A

，则

f_{+}^{'} (0)

存在，且

f_{+}^{'} (0) = A

.

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35. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续，在开区间

(0, 1)

内可导，且

f (0) = 0, f (1) = \frac{1}{3}

. 证明: 存在

ξ \in (0, \frac{1}{2}), η \in (\frac{1}{2}, 1)

, 使得

f^{'} (ξ) + f^{'} (η) = ξ^{2} + η^{2}

.

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36. 设函数

f (x)

在

[0, 3]

上连续，在

(0, 3)

内存在二阶导数，且

2 f (0) = \int_{0}^{2} f (x) d x = f (2) + f (3)

.
(1)证明：存在

η \in (0, 2)

，使得

f (η) = f (0)

.
(2)证明: 存在

ξ \in (0, 3)

，使得

f^{''} (ξ) = 0

.

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37. 证明方程

4 \arctan x - x + \frac{4 π}{3} - \sqrt{3} = 0

恰有两个实根.

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38. 证明:

x \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \cos x \geq 1 + \frac{x^{2}}{2} (- 1 < x < 1)

.

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39. 证明:

x \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \cos x \geq 1 + \frac{x^{2}}{2} (- 1 < x < 1)

.

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40. 证明:

x \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \cos x \geq 1 + \frac{x^{2}}{2} (- 1 < x < 1)

.

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