一、单选题 （共 20 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x>0$ 时，曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}$
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐进线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线，也有铅直渐近线
$\text{D.}$ 既无水平渐近线，也无铅直渐近线
函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ， 则当 $x \rightarrow 0$ 时，
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小量
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是同价但非等价无穷小量
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 较高阶的无穷小量
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 较低阶的无穷小量
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$, 其中 $a, b$ 常数，则
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $F(x)=\int_x^{e^{-x}} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)=$.
$\text{A.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\text{B.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{C.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\text{D.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
设 $F(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{f(x)}{x}, x \neq 0 \\ f(0), x=0\end{array}\right.$ ，其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导， $f^{\prime}(0) \neq 0, f(0)=0$ ，则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 第一类间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点或间断点不能由此确定
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
设函数 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足等式 $f(1+x)=a f(x)$ ，且有 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a, b$ 为非零常数，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f^{\prime}(1)=a$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f^{\prime}(1)=b$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f^{\prime}(1)=a b$
曲线 $y=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$
$\text{A.}$ 没有渐近线
$\text{B.}$ 仅有水平渐近线
$\text{C.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
下列各式中正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=e$
设数列的通项为： $x_n=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n^2+\sqrt{n}}{n} & n \text { 为奇数 } \\ \frac{1}{n} & n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，则当 $n \rightarrow \infty, x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量
$\text{B.}$ 无穷小量
$\text{C.}$ 有界变量
$\text{D.}$ 无界变量
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x \leq 0 \\ x^2+x, & x>0\end{array}\right.$ ，则
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leq 0 \\ -\left(x^2+x\right), & x>0\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)= \begin{cases}-\left(x^2+x\right), & x < 0 \\ -x^2, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{C.}$ $f(-x)= \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\ x^2-x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $f(-x)= \begin{cases}x^2-x, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0\end{cases}$
若 $f(x)=-f(-x)$ 且 在 $(0,+\infty)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且对任意 $x_1, x_2$ ，当 $x_1>x_2$ 时，有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ ，则
$\text{A.}$ 对任意 $x ， f^{\prime}(x)>0$
$\text{B.}$ 对任意 $x ， f^{\prime}(-x) < 0$
$\text{C.}$ 函数 $f(-x)$ 单调增加
$\text{D.}$ 函数 $-f(-x)$ 单调增加
设 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x & x \leq 0 \\ x+2 & x>0\end{array}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 & x < 0 \\ -x & x \geq 0\end{array}\right.\right.$ ，则 $g[f(x)]=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}2+x^2, & x < 0 \\ 2-x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{B.}$ $\begin{cases}2-x^2, & x < 0 \\ 2+x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{C.}$ $\begin{cases}2-x^2, & x < 0 \\ 2-x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\begin{cases}2+x^2, & x < 0 \\ 2+x, & x \geq 0\end{cases}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个领域内连续，且 $f(a)$ 为极大值，则存在 $\delta>0$ ，当 $x \in(a-\delta, a+\delta)$ 时，必有
$\text{A.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \geq 0$
$\text{B.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \leq 0$
$\text{C.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} \geq 0(x \neq a)$
$\text{D.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} \leq 0(x \neq a)$
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设对任意的 $x$ ，总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$ ， 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}[g(x)-\varphi(x)]=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不一定为零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1 \\ 0, & |x|>1\end{array}\right.$ ，则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}1,|x| \leq 1 \\ 0,|x|>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leq 1 \\ 1, & |x|>1\end{cases}$
设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数中，必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] \mathrm{d} t$
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+b x^2 & , x \leq 0 \\ \frac{\sin b x}{x}, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是 $\qquad$
极限 $L=\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+3 \sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})=$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{x+e^{\frac{1}{x}}}=$
设 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$, 则 $\varphi(x)=$ $\qquad$ 其定义域为
函数 $\boldsymbol{F}(x)=\int_1^x\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t(x>0)$ 的单调减少区间为
设 $f^{\prime}(\ln x)=1+x$ ，则 $f(x)=$
$\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}}=$
已知曲线 $y=x^3-3 a^2 x+b$ 与 $x$ 轴相切，则 $b^2$ 可以通过 $a$ 表示为 $b^2=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)=k x^2$ 与
$$
\beta(x)=\sqrt{1+x \arcsin x}-\sqrt{\cos x}
$$
是等价无穷小，则 $k=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(2 \sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$.
求下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$.
(2) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+e^x\right)^{\frac{1}{x}}$.
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x=9$ ，求常数 $a$.
求极限 $I=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \int_0^x\left(1+t^2\right) e^{t^2-x^2} \mathrm{~d} t$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 其中 $n$ 是给定的自然数.
证明函数 $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调增加.
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
\int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x .
$$
假设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 内存在且大于零，记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$. 证明 $F(x)$在 $(a,+\infty)$ 内单调增加.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t \text { ， }
$$
试证：(1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.
确定常数 $a, b, c$ 的值，使
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_b^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c(c \neq 0) .
$$
若 $x \rightarrow 0$ 时， $\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$