试卷14-数学组卷-自助组卷

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试卷14

数学

一、单选题（共 20 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x > 0

时，曲线

y = x \sin \frac{1}{x}

A.

有且仅有水平渐近线

B.

有且仅有铅直渐进线

C.

既有水平渐近线，也有铅直渐近线

D.

既无水平渐近线，也无铅直渐近线

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2. 函数

f (x)

在点

x = a

可导的一个充分条件是

A.

lim_{h \to + \infty} h [f (a + \frac{1}{h}) - f (a)]

存在

B.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 2 h) - f (a + h)}{h}

存在

C.

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - h)}{2 h}

存在

D.

lim_{h \to 0} \frac{f (a) - f (a - h)}{h}

存在

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3. 设

f (x) = 2^{x} + 3^{x} - 2

，则当

x \to 0

时，

A.

f (x)

与

x

是等价无穷小量

B.

f (x)

与

x

是同价但非等价无穷小量

C.

f (x)

是比

x

较高阶的无穷小量

D.

f (x)

是比

x

较低阶的无穷小量

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4. 已知

lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2}}{x + 1} - a x - b) = 0

, 其中

a, b

常数，则

A.

a = 1, b = 1

B.

a = - 1, b = 1

C.

a = 1, b = - 1

D.

a = - 1, b = - 1

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5. 设

f (x)

是连续函数，且

F (x) = \int_{x}^{e^{- x}} f (t) d t

，则

F^{'} (x) =

.

A.

- e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

B.

- e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

C.

e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

D.

e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

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6. 设

F (x) = {\begin{matrix} \frac{f (x)}{x}, x \neq 0 \\ f (0), x = 0 \end{matrix}

，其中

f (x)

在

x = 0

处可导，

f^{'} (0) \neq 0, f (0) = 0

，则

x = 0

是

F (x)

的

A.

连续点

B.

第一类间断点

C.

第二类间断点

D.

连续点或间断点不能由此确定

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7. 设函数

f (x) = x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}

，则

f (x)

是

A.

偶函数

B.

无界函数

C.

周期函数

D.

单调函数

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8. 设函数

f (x)

对任意

x

均满足等式

f (1 + x) = a f (x)

，且有

f^{'} (0) = b

，其中

a, b

为非零常数，则

A.

f (x)

在

x = 1

处不可导

B.

f (x)

在

x = 1

处可导，且

f^{'} (1) = a

C.

f (x)

在

x = 1

处可导，且

f^{'} (1) = b

D.

f (x)

在

x = 1

处可导，且

f^{'} (1) = a b

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9. 曲线

y = \frac{1 + e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}}

A.

没有渐近线

B.

仅有水平渐近线

C.

仅有铅直渐近线

D.

既有水平渐近线又有铅直渐近线

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10. 下列各式中正确的是

A.

lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = 1

B.

lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e

C.

lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x} = e

D.

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{- x} = e

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11. 设数列的通项为：

x_{n} = {\begin{cases} \frac{n^{2} + \sqrt{n}}{n} & n 为奇数 \\ \frac{1}{n} & n 为偶数 \end{cases}

，则当

n \to \infty, x_{n}

是

A.

无穷大量

B.

无穷小量

C.

有界变量

D.

无界变量

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12. 设

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \leq 0 \\ x^{2} + x, & x > 0 \end{cases}

，则

A.

f (- x) = {\begin{array}{cc} - x^{2}, & x \leq 0 \\ - (x^{2} + x), & x > 0 \end{array}

B.

f (- x) = {\begin{cases} - (x^{2} + x), & x < 0 \\ - x^{2}, & x \geq 0 \end{cases}

C.

f (- x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \leq 0 \\ x^{2} - x, & x > 0 \end{cases}

D.

f (- x) = {\begin{cases} x^{2} - x, & x < 0 \\ x^{2}, & x \geq 0 \end{cases}

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13. 若

f (x) = - f (- x)

且在

(0, + \infty)

内

f^{'} (x) > 0, f^{''} (x) > 0

，则

f (x)

在

(- \infty, 0)

内

A.

f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) < 0

B.

f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

C.

f^{'} (x) > 0, f^{''} (x) < 0

D.

f^{'} (x) > 0, f^{''} (x) > 0

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14. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导，且对任意

x_{1}, x_{2}

，当

x_{1} > x_{2}

时，有

f (x_{1}) > f (x_{2})

，则

A.

对任意

x ， f^{'} (x) > 0

B.

对任意

x ， f^{'} (- x) < 0

C.

函数

f (- x)

单调增加

D.

函数

- f (- x)

单调增加

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15. 设

g (x) = {\begin{cases} 2 - x & x \leq 0 \\ x + 2 & x > 0 \end{cases}, f (x) = {\begin{cases} x^{2} & x < 0 \\ - x & x \geq 0 \end{cases}

，则

g [f (x)] =

A.

{\begin{cases} 2 + x^{2}, & x < 0 \\ 2 - x, & x \geq 0 \end{cases}

B.

{\begin{cases} 2 - x^{2}, & x < 0 \\ 2 + x, & x \geq 0 \end{cases}

C.

{\begin{cases} 2 - x^{2}, & x < 0 \\ 2 - x, & x \geq 0 \end{cases}

D.

{\begin{cases} 2 + x^{2}, & x < 0 \\ 2 + x, & x \geq 0 \end{cases}

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16. 设函数

f (x)

在

x = a

的某个领域内连续，且

f (a)

为极大值，则存在

δ > 0

，当

x \in (a - δ, a + δ)

时，必有

A.

(x - a) [f (x) - f (a)] \geq 0

B.

(x - a) [f (x) - f (a)] \leq 0

C.

lim_{t \to a} \frac{f (t) - f (x)}{(t - x)^{2}} \geq 0 (x \neq a)

D.

lim_{t \to a} \frac{f (t) - f (x)}{(t - x)^{2}} \leq 0 (x \neq a)

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17. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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18. 设对任意的

x

，总有

φ (x) \leq f (x) \leq g (x)

，且

lim_{x \to \infty} [g (x) - φ (x)] = 0

，则

lim_{x \to \infty} f (x)

A.

存在且等于零

B.

存在但不一定为零

C.

一定不存在

D.

不一定存在

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19. 设

f (x) = {\begin{cases} 1, & | x | \leq 1 \\ 0, & | x | > 1 \end{cases}

，则

f {f [f (x)]}

等于

A.

0

B.

1

C.

{\begin{cases} 1, | x | \leq 1 \\ 0, | x | > 1 \end{cases}

D.

{\begin{cases} 0, & | x | \leq 1 \\ 1, & | x | > 1 \end{cases}

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20. 设函数

f (x)

连续，则下列函数中，必为偶函数的是

A.

\int_{0}^{x} f (t^{2}) d t

B.

\int_{0}^{x} f^{2} (t) d t

C.

\int_{0}^{x} t [f (t) - f (- t)] d t

D.

\int_{0}^{x} t [f (t) + f (- t)] d t

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

21. 设

f (x) = {\begin{cases} a + b x^{2} & , x \leq 0 \\ \frac{\sin b x}{x}, & x > 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续，则常数

a

与

b

应满足的关系是

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22. 极限

L = lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 3 \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}}) =

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23.

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - e^{\frac{1}{x}}}{x + e^{\frac{1}{x}}} =

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24. 设

f (x) = \sin x, f [φ (x)] = 1 - x^{2}

, 则

φ (x) =

其定义域为

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25. 函数

F (x) = \int_{1}^{x} (2 - \frac{1}{\sqrt{t}}) d t (x > 0)

的单调减少区间为

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26. 设

f^{'} (\ln x) = 1 + x

，则

f (x) =

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27.

lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{\ln (1 + x^{2})}} =

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28. 已知曲线

y = x^{3} - 3 a^{2} x + b

与

x

轴相切，则

b^{2}

可以通过

a

表示为

b^{2} =

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29. 当

x \to 0

时，

α (x) = k x^{2}

与

β (x) = \sqrt{1 + x \arcsin x} - \sqrt{\cos x}

是等价无穷小，则

k =

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

30. 求

lim_{x \to 0} (2 \sin x + \cos x)^{\frac{1}{x}}

.

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31. 求下列极限：
(1)

lim_{x \to \infty} {(\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x})}^{x}

.
(2)

lim_{x \to + \infty} {(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}

.

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32. 已知

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + a}{x - a})}^{x} = 9

，求常数

a

.

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33. 求极限

I = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} (1 + t^{2}) e^{t^{2} - x^{2}} d t

.

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34. 求极限

lim_{x \to 0} {(\frac{e^{x} + e^{2 x} + \dots + e^{n x}}{n})}^{\frac{1}{x}}

其中

n

是给定的自然数.

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35. 证明函数

f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{x}

在区间

(0, + \infty)

内单调增加.

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36. 求连续函数

f (x)

，使它满足

\int_{0}^{1} f (t x) d t = f (x) + x \sin x .

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37. 假设

f (x)

在

[a, + \infty)

上连续，

f^{''} (x)

在

(a, + \infty)

内存在且大于零，记

F (x) = \frac{f (x) - f (a)}{x - a} (x > a)

. 证明

F (x)

在

(a, + \infty)

内单调增加.

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38. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，且

F (x) = \int_{0}^{x} (x - 2 t) f (t) d t ，

试证：(1) 若

f (x)

为偶函数，则

F (x)

也是偶函数；
(2) 若

f (x)

单调不增，则

F (x)

单调不减.

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39. 确定常数

a, b, c

的值，使

lim_{x \to 0} \frac{a x - \sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln (1 + t^{3})}{t} d t} = c (c \neq 0) .

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40. 若

x \to 0

时，

{(1 - a x^{2})}^{\frac{1}{4}} - 1

与

x \sin x

是等价无穷小，则

a =

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