一、单选题 （共 27 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 为已知连续函数， $I=t \int_0^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$ ，其中 $s>0, t>0$, 则 $I$ 的值
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$
$\text{B.}$ 依赖于 $\mathrm{s}, t, x$
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$ ，不依赖于 $s$
$\text{D.}$ 依赖于 $s$ ，不依赖于 $t$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义， $x_0 \neq 0$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点，则
$\text{A.}$ $x_0$ 必是 $f(x)$ 的驻点
$\text{B.}$ $-x_0$ 必是 $-f(-x)$ 的极小值点
$\text{C.}$ $-x_0$ 必是 $-f(x)$ 的极小值点
$\text{D.}$ 对一切 $x$ ，都有 $f(x) \leq f\left(x_0\right)$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left\lvert\, \frac{x^2-1 \mid}{x-1}\right., & x \neq 1 \\ 2, & x=1\end{array}\right.$, 则在点 $x=1$ 处函数 $f(x)$
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但不可导
$\text{C.}$ 可导，但导数不连续
$\text{D.}$ 可导，且导数连续
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3} x^3, & x \leq 1 \\ x^2, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左、右导数都存在
$\text{B.}$ 左导数存在，但右导数不存在
$\text{C.}$ 左导数不存在，但右导数存在
$\text{D.}$ 左、右导数都不存在
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义， $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x) \neq 0 ， \varphi(x)$ 有间断点，则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\delta, \delta)$ 内有定义，若当 $x \in(-\delta, \delta)$ 时，恒有 $|f(x)| \leq x^2$ ，则 $x=0$ 必是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 间断点
$\text{B.}$ 连续而不可导的点
$\text{C.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$
函数 $f(x)=\left(x^2-x-2\right)\left|x^3-x\right|$ 的不可导点的个数是
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ ，讨论函数 $f(x)$ 的间断点，其结论为
$\text{A.}$ 不存在间断点.
$\text{B.}$ 存在间断点 $x=1$
$\text{C.}$ 存在间断点 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ 存在间断点 $x=-1$
设函数 $f(x)=\frac{x}{a+e^{b x}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0$ ，则常数 $a, b$ 满足
$\text{A.}$ $a < 0, b < 0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a \leq 0, b>0$
$\text{D.}$ $a \geq 0, b < 0$
设函数 $g(x)=\int_0^x f(u) \mathrm{d} u$ ，其中
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left(x^2+1\right), 0 \leq x \leq 1 \\
\frac{1}{3}(x-1), 1 \leq x \leq 2
\end{array},\right.
$$
则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内
$\text{A.}$ 无界
$\text{B.}$ 递减
$\text{C.}$ 不连续
$\text{D.}$ 连续
设函数 $f(x)=\left|x^3-1\right| \varphi(x)$ ，其中 $\varphi(x)$ 在 $x=1$ 处连续，则 $\varphi(1)=0$ 是 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分但非必要条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)>f(0)$
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)>f(0)$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$内
$\text{A.}$ 处处可导
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，" $M \Leftrightarrow N$ " 表示 $" M$ 的充分必要条件是 $N "$ ，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数
以下四个命题中，正确的是
$\text{A.}$ 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
设 $f(x)$ 是连续的奇函数， $g(x)$ 是连续的偶函数，区域
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,-\sqrt{x} \leq y \leq \sqrt{x}\}
$$
则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\iint_D f(y) g(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{B.}$ $\iint_D f(x) g(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{C.}$ $\iint_D[f(x)+g(y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{D.}$ $\iint_D[f(y)+g(x)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(x)=\ln ^{10} x, g(x)=x, h(x)=e^{\frac{x}{10}}$ ，则当 $x$ 充分大时有
$\text{A.}$ $g(x) < h(x) < f(x)$
$\text{B.}$ $h(x) < g(x) < f(x)$
$\text{C.}$ $f(x) < g(x) < h(x)$
$\text{D.}$ $g(x) < f(x) < h(x)$
曲线 $y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的拐点是
$\text{A.}$ $(1,0)$
$\text{B.}$ $(2,0)$
$\text{C.}$ $(3,0)$
$\text{D.}$ $(4,0)$
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}(\cos x)^{x^{-2}} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$
求极限 $\lim _{t \rightarrow x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$ ，记此极限为 $f(x)$ ，求函数 $f(x)$ 的间断点并指出其类型.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^\lambda \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其导函数在 $x=0$ 处连续，则 $\boldsymbol{\lambda}$ 的取值范围是
曲线 $y=\frac{2 x^3}{x^2+1}$ 的渐近线方程为
三、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi}{2} x}, & x \neq 1 \\ 1, & x=1\end{array}\right.$ ，问函数 $f(x)$在 $x=1$ 处是否连续? 若不连续，修改函数在 $x=1$ 处的定义使之连续.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \arctan \frac{1}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，试讨论 $f^{\prime}(x)$ 在
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-2 x^2, x < -1 \\ x^3,-1 \leq x \leq 2 \\ 12 x-16, x>2\end{array}\right.$ :
(1) 写出 $f(x)$ 的反函数 $g(x)$ 的表达式；
(2) 问 $g(x)$ 是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.
求函数 $f(x)=(1+x)$
$$
\frac{x}{\tan \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}
$$
在区间 $(0,2 \pi)$ 内的间断点，并判断其类型
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\ln \left(1+a x^3\right)}{x-\arcsin x} & x < 0 \\ 6 & x=0 \\ \frac{e^{a x}+x^2-a x-1}{x \sin (x / 4)} & x>0\end{array}\right.$ ，问 $a$ 为何值时， $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续； $a$ 为何值时， $x=0$ 是 $f(x)$的可去间断点?
(1) 设 $f(x)=\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi(1-x)}, x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.试补充定义 $f(1)$ 使得 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续.
(2) 设 $f(x)=\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi x}-\frac{1}{\pi(1-x)}, x \in\left(0, \left.\frac{1}{2} \right\rvert\,\right.$. 试补充定义 $f(0)$ 使得 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上连续.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^3} \int_0^x \sin t^2 \mathrm{~d} t, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$
试确定 $A, B, C$ 的常数值，使得
$$
e^x\left(1+B x+C x^2\right)=1+A x+o\left(x^3\right)
$$
其中 $o\left(x^3\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^3$ 的高阶无穷小量.