试卷13-数学组卷-自助组卷

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试卷13

数学

一、单选题（共 27 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

为已知连续函数，

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

，其中

s > 0, t > 0

, 则

I

的值

A.

依赖于

s

和

t

B.

依赖于

s, t, x

C.

依赖于

t

和

x

，不依赖于

s

D.

依赖于

s

，不依赖于

t

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2. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有定义，

x_{0} \neq 0

是函数

f (x)

的极大值点，则

A.

x_{0}

必是

f (x)

的驻点

B.

- x_{0}

必是

- f (- x)

的极小值点

C.

- x_{0}

必是

- f (x)

的极小值点

D.

对一切

x

，都有

f (x) \leq f (x_{0})

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3. 设

f (x) = {\begin{cases} | \frac{x^{2} - 1 ∣}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}

, 则在点

x = 1

处函数

f (x)

A.

不连续

B.

连续，但不可导

C.

可导，但导数不连续

D.

可导，且导数连续

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4. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{2}{3} x^{3}, & x \leq 1 \\ x^{2}, & x > 1 \end{cases}

，则

f (x)

在

x = 1

处的

A.

左、右导数都存在

B.

左导数存在，但右导数不存在

C.

左导数不存在，但右导数存在

D.

左、右导数都不存在

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5. 设

f (x)

和

φ (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有定义，

f (x)

为连续函数，且

f (x) \neq 0 ， φ (x)

有间断点，则

A.

φ [f (x)]

必有间断点

B.

[φ (x)]^{2}

必有间断点

C.

f [φ (x)]

必有间断点

D.

\frac{φ (x)}{f (x)}

必有间断点

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6. 设函数

f (x)

在区间

(- δ, δ)

内有定义，若当

x \in (- δ, δ)

时，恒有

| f (x) | \leq x^{2}

，则

x = 0

必是

f (x)

的

A.

间断点

B.

连续而不可导的点

C.

可导的点，且

f^{'} (0) = 0

D.

可导的点，且

f^{'} (0) \neq 0

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7. 函数

f (x) = (x^{2} - x - 2) | x^{3} - x |

的不可导点的个数是

A.

B.

C.

D.

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8. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2 n}}

，讨论函数

f (x)

的间断点，其结论为

A.

不存在间断点.

B.

存在间断点

x = 1

C.

存在间断点

x = 0

D.

存在间断点

x = - 1

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9. 设函数

f (x) = \frac{x}{a + e^{b x}}

在

(- \infty, + \infty)

内连续，且

lim_{x \to - \infty} f (x) = 0

，则常数

a, b

满足

A.

a < 0, b < 0

B.

a > 0, b > 0

C.

a \leq 0, b > 0

D.

a \geq 0, b < 0

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10. 设函数

g (x) = \int_{0}^{x} f (u) d u

，其中

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (x^{2} + 1), 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{3} (x - 1), 1 \leq x \leq 2 \end{cases},

则

g (x)

在区间

(0, 2)

内

A.

无界

B.

递减

C.

不连续

D.

连续

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11. 设函数

f (x) = | x^{3} - 1 | φ (x)

，其中

φ (x)

在

x = 1

处连续，则

φ (1) = 0

是

f (x)

在

x = 1

处可导的

A.

充分必要条件

B.

必要但非充分条件

C.

充分但非必要条件

D.

既非充分也非必要条件

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12. 设函数

f (x)

连续，且

f^{'} (0) > 0

, 则存在

δ > 0

, 使得

A.

f (x)

在

(0, δ)

内单调增加

B.

f (x)

在

(- δ, 0)

内单调减少

C.

对任意的

x \in (0, δ)

有

f (x) > f (0)

D.

对任意的

x \in (- δ, 0)

有

f (x) > f (0)

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13. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + | x |^{3 n}}

，则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

处处可导

B.

恰有一个不可导点

C.

恰有两个不可导点

D.

至少有三个不可导点

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14. 设

F (x)

是连续函数

f (x)

的一个原函数，"

M \Leftrightarrow N

" 表示

" M

的充分必要条件是

N "

，则必有

A.

F (x)

是偶函数

\Leftrightarrow f (x)

是奇函数

B.

F (x)

是奇函数

\Leftrightarrow f (x)

是偶函数

C.

F (x)

是周期函数

\Leftrightarrow f (x)

是周期函数

D.

F (x)

是单调函数

\Leftrightarrow f (x)

是单调函数

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15. 以下四个命题中，正确的是

A.

若

f^{'} (x)

在

(0, 1)

内连续，则

f (x)

在

(0, 1)

内有界

B.

若

f (x)

在

(0, 1)

内连续，则

f (x)

在

(0, 1)

内有界

C.

若

f^{'} (x)

在

(0, 1)

内有界，则

f (x)

在

(0, 1)

内有界

D.

若

f (x)

在

(0, 1)

内有界，则

f^{'} (x)

在

(0, 1)

内有界

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16. 当

x \to 0^{+}

时，与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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17. 连续函数

y = f (x)

在区间

[- 3, - 2] ， [2, 3]

上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间

[- 2, 0] ， [0, 2]

的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则下列结论正确的是

A.

F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)

B.

F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)

C.

F (- 3) = \frac{3}{4} F (2)

D.

F (- 3) = - \frac{5}{4} F (- 2)

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18. 设函数

f (x)

在

x = 0

处连续，下列命题错误的是

A.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在，则

f (0) = 0

B.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) + f (- x)}{x}

存在，则

f (0) = 0

C.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在，则

f^{'} (0)

存在

D.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{x}

存在，则

f^{'} (0)

存在

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19. 连续函数

y = f (x)

在区间

[- 3, - 2] ， [2, 3]

上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间

[- 2, 0] ， [0, 2]

的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则下列结论正确的是

A.

F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)

B.

F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)

C.

F (- 3) = \frac{3}{4} F (2)

D.

F (- 3) = - \frac{5}{4} F (- 2)

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20. 设

f (x)

是连续的奇函数，

g (x)

是连续的偶函数，区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, - \sqrt{x} \leq y \leq \sqrt{x}}

则下列结论正确的是

A.

\iint_{D} f (y) g (x) d x d y = 0

B.

\iint_{D} f (x) g (y) d x d y = 0

C.

\iint_{D} [f (x) + g (y)] d x d y = 0

D.

\iint_{D} [f (y) + g (x)] d x d y = 0

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21. 函数

f (x) = \frac{x - x^{3}}{\sin π x}

的可去间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

无穷多

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22. 函数

f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}

的无穷间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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23. 设

f (x) = \ln^{10} x, g (x) = x, h (x) = e^{\frac{x}{10}}

，则当

x

充分大时有

A.

g (x) < h (x) < f (x)

B.

h (x) < g (x) < f (x)

C.

f (x) < g (x) < h (x)

D.

g (x) < f (x) < h (x)

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24. 曲线

y = (x - 1) (x - 2)^{2} (x - 3)^{3} (x - 4)^{4}

的拐点是

A.

(1, 0)

B.

(2, 0)

C.

(3, 0)

D.

(4, 0)

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25. 曲线

y = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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26. 曲线

y = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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27. 曲线

y = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

28. 已知

f (x) = {\begin{array}{cl} (\cos x)^{x^{- 2}} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{array}

在

x = 0

处连续，则

a =

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29. 求极限

lim_{t \to x} {(\frac{\sin t}{\sin x})}^{\frac{x}{\sin t - \sin x}}

，记此极限为

f (x)

，求函数

f (x)

的间断点并指出其类型.

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30. 设

f (x) = {\begin{array}{cc} x^{λ} \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{array}

其导函数在

x = 0

处连续，则

λ

的取值范围是

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31. 曲线

y = \frac{2 x^{3}}{x^{2} + 1}

的渐近线方程为

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

32. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{\ln \cos (x - 1)}{1 - \sin \frac{π}{2} x}, & x \neq 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}

，问函数

f (x)

在

x = 1

处是否连续? 若不连续，修改函数在

x = 1

处的定义使之连续.

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33. 设

f (x) = {\begin{array}{cc} x \arctan \frac{1}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{array}

，试讨论

f^{'} (x)

在

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34. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1 - 2 x^{2}, x < - 1 \\ x^{3}, - 1 \leq x \leq 2 \\ 12 x - 16, x > 2 \end{cases}

:
(1) 写出

f (x)

的反函数

g (x)

的表达式；
(2) 问

g (x)

是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.

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35. 求函数

f (x) = (1 + x)

\frac{x}{\tan (x - \frac{π}{4})}

在区间

(0, 2 π)

内的间断点，并判断其类型

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36. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{\ln (1 + a x^{3})}{x - \arcsin x} & x < 0 \\ 6 & x = 0 \\ \frac{e^{a x} + x^{2} - a x - 1}{x \sin (x / 4)} & x > 0 \end{array}

，问

a

为何值时，

f (x)

在

x = 0

处连续；

a

为何值时，

x = 0

是

f (x)

的可去间断点?

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37. (1) 设

f (x) = \frac{1}{π x} + \frac{1}{\sin π x} - \frac{1}{π (1 - x)}, x \in [\frac{1}{2}, 1]

.试补充定义

f (1)

使得

f (x)

在

[\frac{1}{2}, 1]

上连续.
(2) 设

f (x) = \frac{1}{\sin π x} - \frac{1}{π x} - \frac{1}{π (1 - x)}, x \in (0, \frac{1}{2} |

. 试补充定义

f (0)

使得

f (x)

在

[0, \frac{1}{2}]

上连续.

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38. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x^{3}} \int_{0}^{x} \sin t^{2} d t, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续，则

a =

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39. 试确定

A, B, C

的常数值，使得

e^{x} (1 + B x + C x^{2}) = 1 + A x + o (x^{3})

其中

o (x^{3})

是当

x \to 0

时比

x^{3}

的高阶无穷小量.

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