一、单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设 是恒大于零的可导函数，且 ，则当 时，有
2. 已知 在 处可导，且 ，则
3. 设函数 ，其中 为正整数，则
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4. 如果 在 处连续，那么下列命题正确的是
若极限 存在，则 在 处可微
若极限 存在，则 在 处可微
若 在 处可微，则极限 存在
若 在 处可微，则极限 存在
5. 设函数 ，其中 为正整数，则
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6. 设函数 ，其中 为正整数，则
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二、填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
7. 若函数 在区间 内严格单增, 则对区间 内任何一点 ，有 .
8. 函数 在区间 上的平均值为
9. 设 在区间 上具有二阶连续导数， .
(1) 写出 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2) 证明: 在 上至少存在一点 ，使
10. 设 ，则
11. 曲线 在点 处切线方程为
12. 设 是由方程 所确定的隐函数，则
13. 曲线 上曲率为 的点的坐标是
14. 设函数 ，则
三、解答题 （共 26 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15. 设函数 在闭区间 上可微, 对于 上的每一个 , 函数 的值都在开区间 内, 且 . 证明: 在 内有且仅有一个 , 使 .
16. 证明: 方程 在区间 内有且仅有两个不同实根.
17. 设不恒为常数的函数 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 且 。证明在 内至少存
在一点 , 使 。
18. 设函数 在 上连续, 内可导, 且 , 证明: 在 内存在一点 , 使
19. 设 , 证明对任何 , 有 .
20. 设在 上函数 有连续导数, 且 , 证明 在 内有且仅有一个零点.
21. 函数 和 在 上存在二阶导数, 并且 , 试证：
(1) 在开区间 内 ;
(2) 在开区间 内至少存在一点 , 使 .
22. (1) 设 在 内可导，且导数 恒大于零，则 在 内单调增加.
(2) 若 在 处二阶导数存在，且 ，则 为 的一个极大值.
23. 设 在 上有连续导数，且 .
(1) 求 ；
(2)证明: .
24. 证明方程 在区间 内有且仅有两个不同实根.
25. 假设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，记 . 证明: 在 内
26. 证明: 当 时，有不等式 .
27. 证明不等式
28. 设 在闭区间 上连续，其导数 在开区间 内存在，且单调减少， ，试应用拉格郎日中值定理证明不等式 ，其中常数 满足条件 .
29. 利用导数证明: 当 时，有不等式 成立.
30. 已知 , 其中 是 和 的函数. 求证:
31. 证明不等式 .
32. 设 ，证明: 对任何 ,恒有 .
33. 求证: 当 时，
34. 设 ，常数 ，证明： .
35. 设 在 上连续，且 ，证明:
，其中
36. 设 是大于 1 的常数，且 ，证明：对于任意实数 ，有 .
37. 假设函数 在 上连续，在 内二阶可导，过点 与 的直线与曲线 相交于点 ，其中 . 证明：在 内至少存在一点 ，使 .
38. 设当 时，方程 有且仅有一个解，求 的取值范围.
39. 设 在 上连续且递减，证明：当 时，
40. 设 在区间 上连续，在 内可导，证明：在 内至少存在一点 ，使 .