一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}=\text { ( ) }
$$
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
如图，曲线方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续导数，则定积分 $\int_0^a x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 在几何上表示
$\text{A.}$ 曲边梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{B.}$ 梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{C.}$ 曲边三角形 $A C D$ 面积
$\text{D.}$ 三角形 $A C D$ 面积
二、填空题 （共 16 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\qquad$ $\int_a^b f^{\prime}(2 x) d x=$
$\lim _{x \rightarrow+0}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{\tan x}=$
$\int x^3 e^{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_{-1}^1\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2 \mathrm{~d} x=$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(4-x)}}=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^2+4 x+8}=$
若 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}+\sqrt{1-x^2} \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} \mathrm{~d} x=$
$\int \frac{\ln x-1}{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^2-1}}=$
$\int_1^2 \frac{1}{x^3} e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x=$
设 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$, 则 $\int_2^{2 \sqrt{2}} f(x) \mathrm{d} x=$
已知 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{k|x|} \mathrm{d} x=1$ ，则 $k=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{-x} \sin n x \mathrm{~d} x=$
$\int_0^2 x \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x=$
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
质点 $P$ 沿着以 $A B$ 为直径的半圆周, 从点 $A(1,2)$ 运动到点 $B(3,4)$ 的过程中受变力 $F$ 作用（见图）。 $F$ 的大小等于 点 $P$ 与原点 $O$ 之间的距离, 其方向垂直于线段 $O P$ 且与 $y$ 轴正向的夹角小于 $\frac{\pi}{2}$, 求变力 $F$ 对质点 $P$ 所作的功
设 $\left\{\begin{array}{l}x=5(t-\sin t) \\ y=5(1-\cos t)\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
已知 $y=\ln \frac{\sqrt{1+x^2-1}}{\sqrt{1+x^2}+1}$ ，求 $y^{\prime}$.
已知 $z=\arctan \frac{x+y}{x-y}$ ，求 $\mathrm{d} z$.
已知 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
计算 $\int_0^{\ln 2} \sqrt{1-e^{-2 x}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$.
计算不定积分 $\int \frac{\arctan x}{x^2\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x$.
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$.
求极限 $I=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{a}{x}-\left(\frac{1}{x^2}-a^2\right) \ln (1+a x)\right](a \neq 0)$.
计算积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{\left|x-x^2\right|}} \mathrm{d} x$.
计算 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，计算 $\int f(x) \mathrm{d} x$.
计算 $I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^{1+x}+e^{3-x}}$
计算不定积分 $\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的导数连续，且 $f(0)=0$ ， $f^{\prime}(x) \geq 0 ， g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明：对任何 $a \in[0,1]$ ，有
$$
\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1) .
$$
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
求不定积分 $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$