一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
在曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 的所有切线中, 与平面 $x+2 y+z=4$ 平行的切线
$\text{A.}$ 只有 1 条.
$\text{B.}$ 只有 2条.
$\text{C.}$ 至少 3条.
$\text{D.}$ 不存在.
双纽线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$\text{A.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{B.}$ $4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$
$\text{C.}$ $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^{2} d \theta$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \cos ^{4} x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{3} x+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{2} \sin ^{3} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$, 则有
$\text{A.}$ $N < P < M$.
$\text{B.}$ $M < P < N$.
$\text{C.}$ $N < M < P$.
$\text{D.}$ $P < M < N$.
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\pi: 4 x-2 y+z-2=0$, 则直线 $L(\quad)$
$\text{A.}$ 平行于 $\pi$.
$\text{B.}$ 在 $\pi$ 上.
$\text{C.}$ 垂直于 $\pi$.
$\text{D.}$ 与 $\pi$ 斜交.
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 或 $f(0)-f(1)$ 的大小顺序是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$.
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$.
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$
$\text{C.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{\ln x}}$
在下列等式中，正确的结果是
$\text{A.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)$
$\text{B.}$ $\int \mathrm{d} f(x)=f(x)$
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]$ 等于
$\text{A.}$ $f(x)$
$\text{B.}$ $f(x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $f(x)+C$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
$$
(x, y, z) A\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=1
$$
在正交变换下的标准方程为双叶双曲面方程，则 $\boldsymbol{A}$ 的正特征值个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
二、判断题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分）
等式 $\int_0^a f(x) \mathrm{d} x=-\int_0^a f(a-x) \mathrm{d} x$ ，对任何实数 $a$都成立.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
积分 $\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{-y^{2}} d y$ 的值等于
曲面 $z-\mathrm{e}^{2}+2 x y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为
若 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=$
$\int_0^4 e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^\pi t \sin t \mathrm{~d} t=$
设 $y=e^{\tan \frac{1}{x}} \cdot \sin \frac{1}{x}$ ，则 $y^{\prime}=$
$\int_0^1 x \sqrt{1-x} \mathrm{~d} x=$
下列两个积分差是（填写正数负数或者零）:
$$
\int_{-2}^{-1} e^{-x^3} \mathrm{~d} x-\int_{-2}^{-1} e^{x^3} \mathrm{~d} x .
$$
设 $\left(x_0, y_0\right)$ 是抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数 $a, b, c$ 应满足的关系是
对数螺线 $\rho=e^\theta$ 在点 $(\rho, \theta)=\left(e^{\frac{\pi}{2}}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程为
曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 在点 $(1,-2,2)$ 处的法线方程为
四、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $ \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{(2-x)^{2}} dx $
设 $\boldsymbol{n}$ 是曲面 $2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量, 求函数 $u=\frac{\sqrt{6 x^{2}+8 y^{2}}}{z}$ 在点 $P$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数.
计算定积分 $\int_{-2}^2(|x|+x) e^{-|x|} \mathrm{d} x$.
计算定积分 $\int_0^1 x \arcsin x \mathrm{~d} x$.
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x}$ (其中 $a, b$ 为不全为零的非负数).
(1) 求不定积分 $\int e^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$.
(2) 计算定积分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 e^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$.
(3) 计算不定积分 $\int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^4+2 x^2+5}$
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中由 $y=x, y=x^3$ 围成的封闭区域.
求椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上某点 $M$ 处的切平面 $\pi$ 的方程，使平面 $\pi$ 过已知直线
$$
L: \frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2 z-1}{-2} .
$$
设 $x \geq-1$ ，求 $\int_{-1}^x(1-|t|) \mathrm{d} t$.
求定积分 $\int_0^3 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}$.
已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$.
求不定积分 $F(x)=\int \frac{x+\ln (1-x)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，试计算下列各题:
(1) $S_0=\int_0^2 f(x) e^{-x} \mathrm{~d} x$;
(2) $S_1=\int_2^4 f(x-2) e^{-x} \mathrm{~d} x$;
(3) $S_n=\int_{2 n}^{2 n+2} f(x-2 n) e^{-x} \mathrm{~d} x(n=2,3, \cdots)$ ；
(4) $S=\sum_{n=0}^{\infty} S_n$.
求曲面 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$ 平行于平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程.
设直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 在平面 $\pi$ 上，而平面 $\pi$与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切于点 $(1,-2,5)$ ，求 $a, b$ 之值.
求直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z$ $-1=0$ 上的投影直线 $L_0$ 的方程，并求 $L_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面方程
已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ，求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.