试卷51-数学组卷-自助组卷

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试卷51

数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 二元函数

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

在点

(0, 0)

处

A.

连续，偏导数存在

B.

连续，偏导数不存在

C.

不连续，偏导数存在

D.

不连续，偏导数不存在

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2. 设

f (x, y)

在点

(0, 0)

附近有定义，且

f_{x}^{'} (0, 0) = 3

，

f_{y}^{'} (0, 0) = 1

，则

A.

{d z |}_{(0, 0)} = 3 d x + d y

B.

曲面

z = f (x, y)

在

(0, 0, f (0, 0))

处的法向量为

(3, 1, 1)

C.

曲线

{\begin{cases} z = f (x, y) \\ y = 0 \end{cases}

在

(0, 0, f (0, 0))

处的切向量为

(1, 0, 3)

D.

曲线

{\begin{cases} z = f (x, y) \\ y = 0 \end{cases}

在

(0, 0, f (0, 0))

处的切向量为

(3, 0, 1)

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3. 考虑二元函数的下面 4 条性质:
(1)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处连续，
(2)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处的两个偏导数连续，
(3)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处可微，
(4)

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处两个偏导数存在.

若用 "

P \Rightarrow Q

" 表示可由性质

P

推出

Q

，则有

A.

(2)

\Rightarrow

(3)

\Rightarrow

(1)

B.

(3)

\Rightarrow

(2)

\Rightarrow

(1)

C.

(3)

\Rightarrow

(4)

\Rightarrow

(1)

D.

(3)

\Rightarrow

(1)

\Rightarrow

(4)

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4. 设函数

u (x, y) = ϕ (x + y) + ϕ (x - y) + \int_{x - y}^{x + y} ψ (t) d t ，

其中函数

ϕ

具有二阶导数，

ψ

具有一阶导数，则必有

A.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

B.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

C.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

D.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

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5. 设

f (x, y)

与

φ (x, y)

均为可微函数，且

φ_{y}^{'} (x, y) \neq 0

，已知

(x_{0}, y_{0})

是

f (x, y)

在约束条件

φ (x, y) = 0

下的一个极值点，下列选项正确的是

A.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

B.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

C.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

D.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

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6. 已知

f (x, y) = e^{\sqrt{x^{2} + y^{4}}}

，则

A.

f_{x}^{'} (0, 0), f_{y}^{'} (0, 0)

都存在

B.

f_{x}^{'} (0, 0)

不存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

存在

C.

f_{x}^{'} (0, 0)

不存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

不存在

D.

f_{x}^{'} (0, 0), f_{y}^{'} (0, 0)

都不存在

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7. 若

f^{''} (x)

不变号，且曲线

y = f (x)

在点

(1, 1)

处的曲率圆为

x^{2} + y^{2} = 2

，则函数

f (x)

在区间

(1, 2)

内

A.

有极值点，无零点

B.

无极值点，有零点

C.

有极值点，有零点

D.

无极值点，无零点

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8. 设函数

f (x, y)

为可微函数，且对任意的

x, y

都有

\frac{\partial (x, y)}{\partial x} > 0, \frac{\partial (x, y)}{\partial y} < 0,

则使不等式

f (x_{1}, y_{1}) > f (x_{2}, y_{2})

成立的一个充分条件是

A.

x_{1} > x_{2}, y_{1} < y_{2}

B.

x_{1} > x_{2}, y_{1} > y_{2}

C.

x_{1} < x_{2}, y_{1} < y_{2}

D.

x_{1} < x_{2}, y_{1} > y_{2}

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 与两直线

{\begin{cases} x = 1, \\ y = - 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}

及

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}

都平行, 且过原点的平面方程为

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10. 过点

M (1, 2, - 1)

且与直线

{\begin{cases} x = - t + 2 \\ y = 3 t - 4 \\ z = t - 1 \end{cases}

垂直的平面方程是

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11. 设

z = \frac{1}{x} f (x y) + y φ (x + y)

，其中

f, φ

具有二阶连续导数，则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

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12. 设

z = e^{- x} - f (x - 2 y)

，且当

y = 0

时，

z = x^{2}

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

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13. 函数

y = x^{2 x}

在区间

(0, 1]

上的最小值为

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14. 设某商品的收益函数为

R (p)

，收益弹性为

1 + p^{3}

，其中

p

为价格，且

R (1) = 1

，则

R (p) =

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15. 设函数

F (x, y) = \int_{0}^{x y} \frac{\sin t}{1 + t^{2}} d t

，则

{\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} |}_{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 \end{matrix}} =

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16. 设函数

z = {(1 + \frac{x}{y})}^{\frac{x}{y}}

，则

{d z |}_{(1, 1)} =

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17.

{grad (x y + \frac{z}{y}) |}_{(2, 1, 1)} =

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18. 设

z = f (\ln x + \frac{1}{y})

，其中函数

f (u)

可微，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y^{2} \frac{\partial z}{\partial y} =

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19. 设连续函数

z = f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 1 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - 2 x + y - 2}{\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}}} = 0 ，

则

{d z |}_{(0, 1)} =

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三、解答题（共 21 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

20. 在变力

F = y z i + z x j + x y k

的作用下, 质点由原点沿直线运动到椭球面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

上第一卦限的点

M (ξ, η, ζ)

, 问

ξ, η, ζ

取何值时, 力

F

所作的功

W

最大? 并求出

W

的最大值.

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21. 设生产某产品的固定成本为 10 ，而当产量为

x

时的边际成本函数为

M C = - 40 - 20 x + 3 x^{2},

边际收入函数为

M R = 32 + 10 x

，试求:
(1) 总利润函数；
(2) 使总利润最大的产量.

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22. 作半径为

r

的球的外切正圆椎，问此圆椎的高

h

为何值时，其体积

V

最小，并求出该最小值.

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23. 在椭圆

x^{2} + 4 y^{2} = 4

上求一点，使其到直线

2 x + 3 y - 6 = 0

的距离最短.

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24. 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养

x

（万尾），乙种鱼放养

y

(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为

(3 - α x - β y) x 和 (4 - β x - 2 α y) y (α > β > 0) .

求使产鱼总量最大的放养数.

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25. 求二元函数

f (x, y) = x^{2} y (4 - x - y)

在由直线

x + y = 6 ， x

轴和

y

轴所围成的闭区域

D

上的极值、最大值与最小值.

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26. 设某种商品的单价为

p

时，售出的商品数量

Q

可以表示成

Q = \frac{a}{p + b} - c

，其中

a, b, c

均为正数，且

a > b c

.
(1) 求

p

在何范围变化时，使相应销售额增加或减少;
(2) 要使销售额最大，商品单价

p

应取何值? 最大销售额是多少?

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27. 设

u = f (x, y, z)

有连续偏导数，

y = y (x)

和

z = z (x)

分别由方程

e^{x y} - y = 0

和

e^{z} - x z = 0

所确定，求

\frac{d u}{d x}

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28. 设某种商品每周的需求量

X

是服从区间

[10, 30]

上均匀分布的随机变量，而经销商进货数量为区间

[10, 30]

中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元; 若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品仅获利 300 元，为使商品所获利润期望值不小于 9280 元，试确定最少进货量.

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29. 设

u = f (x, y, z)

有连续的一阶偏导数，又函数

y = y (x)

及

z = z (x)

分别由下列两式确定:

\begin{aligned} e^{x y} - x y = 2 和 e^{x} = \int_{0}^{x - z} \frac{\sin t}{t} d t ， \\ 求 \frac{d u}{d x} . \end{aligned}

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30. 设

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，且满足

\frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = 1

，又

g (x, y) = f [x y, \frac{1}{2} (x^{2} - y^{2})]

, 求

\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}

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31. 求

f (x, y) = x^{2} - y^{2} + 2

在椭圆域

D = {(x, y) | x^{2} + \frac{y^{2}}{4} \leq 1}

上的最大值和最小值.

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32. 设

f (u)

在

(0, + \infty)

内具有二阶导数，且

z = f (\sqrt{x^{2} + y^{2}})

满足等式

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

.
(1) 验证

f^{''} (u) + \frac{f^{'} (u)}{u} = 0

（2）若

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

，求函数

f (u)

的表达式.

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33. 求函数

u = x^{2} + y^{2} + z^{2}

在约束条件

z = x^{2} + y^{2}

和

x + y + z = 4

下的最大值和最小值.

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34. 求二元函数

f (x, y) = x^{2} (2 + y^{2}) + y \ln y

的极值.

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35. 求二元函数

f (x, y) = x^{2} (2 + y^{2}) + y \ln y

的极值.

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36. 设函数

z = f (x y, y g (x))

，其中函数

f

具有二阶连续偏导数，函数

g (x)

可导，且在

x = 1

处取得极值

g (1) = 1

，求

{\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} |}_{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}} .

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37. 设函数

z = f (x y, y g (x))

，其中函数

f

具有二阶连续偏导数，函数

g (x)

可导，且在

x = 1

处取得极值

g (1) = 1

，求

{\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} |}_{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}}

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38. 已知函数

f (u, v)

具有连续的二阶偏导数，

f (1, 1) = 2

是

f (u, v)

的极值，

z = f [x + y, f (x, y)]

，求

{\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} |}_{(1, 1)}

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39. 求函数

f (x, y) = x e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2}}

的极值.

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40. 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000 (万元). 设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为

x

(件)和

y

(件)，且这两种产品的边际成本分别为

20 + \frac{x}{2}

(万元

/

件)与

6 + y

(万元

/

件).
(1) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数

C (x, y)

(万元)；
(2) 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本；
(3) 求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

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