一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续，偏导数存在
$\text{B.}$ 连续，偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，偏导数存在
$\text{D.}$ 不连续，偏导数不存在
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义，且 $f_x^{\prime}(0,0)=3$ ， $f_y^{\prime}(0,0)=1$ ，则
$\text{A.}$ $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=3 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$
$\text{B.}$ 曲面 $z=f(x, y)$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的法向量为 $(3,1,1)$
$\text{C.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(1,0,3)$
$\text{D.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(3,0,1)$
考虑二元函数的下面 4 条性质:
(1) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，
(2) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的两个偏导数连续，
(3) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，
(4) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数存在.
若用 " $P \Rightarrow Q$ " 表示可由性质 $P$ 推出 $Q$ ，则有
$\text{A.}$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1)
$\text{B.}$ (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)
$\text{C.}$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)
$\text{D.}$ (3) $\Rightarrow$ (1) $\Rightarrow$ (4)
设函数
$$
u(x, y)=\phi(x+y)+\phi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t ，
$$
其中函数 $\phi$ 具有二阶导数， $\psi$ 具有一阶导数，则必有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
已知 $f(x, y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都存在
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都不存在
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆为 $x^2+y^2=2$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点，有零点
$\text{C.}$ 有极值点，有零点
$\text{D.}$ 无极值点，无零点
设函数 $f(x, y)$ 为可微函数，且对任意的 $x, y$ 都有
$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial(x, y)}{\partial y} < 0,
$$
则使不等式 $f\left(x_1, y_1\right)>f\left(x_2, y_2\right)$ 成立的一个充分条件是
$\text{A.}$ $x_1>x_2, y_1 < y_2$
$\text{B.}$ $x_1>x_2, y_1>y_2$
$\text{C.}$ $x_1 < x_2, y_1 < y_2$
$\text{D.}$ $x_1 < x_2, y_1>y_2$
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
与两直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-1+t \\ z=2+t\end{array}\right.$ 及 $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ 都平行, 且过原点的平面方程为
过点 $M(1,2,-1)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=-t+2 \\ y=3 t-4 \\ z=t-1\end{array}\right.$ 垂直的平面方程是
设 $z=\frac{1}{x} f(x y)+y \varphi(x+y)$ ，其中 $f, \varphi$ 具有二阶连续导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设 $z=e^{-x}-f(x-2 y)$ ，且当 $y=0$ 时， $z=x^2$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
函数 $y=x^{2 x}$ 在区间 $(0,1]$ 上的最小值为
设某商品的收益函数为 $R(p)$ ，收益弹性为 $1+p^3$ ，其中 $p$ 为价格，且 $R(1)=1$ ，则 $R(p)=$
设函数 $F(x, y)=\int_0^{x y} \frac{\sin t}{1+t^2} \mathrm{~d} t$ ，则
$$
\left.\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right|_{\substack{x=0 \\ y=2}}=
$$
设函数 $z=\left(1+\frac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}=$
$\left.\operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$
设 $z=f\left(\ln x+\frac{1}{y}\right)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=$
设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足
$$
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}=0 ，
$$
则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$
三、解答题 （ 共 21 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
在变力 $\boldsymbol{F}=y z \boldsymbol{i}+z x \boldsymbol{j}+x y \boldsymbol{k}$ 的作用下, 质点由原点沿直线运动到椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上第一卦 限的点 $M(\xi, \eta, \zeta)$, 问 $\xi, \eta, \zeta$ 取何值时, 力 $\boldsymbol{F}$ 所作的功 $W$ 最大? 并求出 $W$ 的最大值.
设生产某产品的固定成本为 10 ，而当产量为 $x$ 时的边际成本函数为
$$
M C=-40-20 x+3 x^2,
$$
边际收入函数为 $M R=32+10 x$ ，试求:
(1) 总利润函数；
(2) 使总利润最大的产量.
作半径为 $r$ 的球的外切正圆椎，问此圆椎的高 $h$ 为何值时，其体积 $\boldsymbol{V}$ 最小，并求出该最小值.
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $2 x+3 y-6=0$ 的距离最短.
某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 $x$ （万尾），乙种鱼放养 $y$ (万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为
$$
(3-\alpha x-\beta y) x \text { 和 }(4-\beta x-2 \alpha y) y(\alpha>\beta>0) \text {. }
$$
求使产鱼总量最大的放养数.
求二元函数 $f(x, y)=x^2 y(4-x-y)$ 在由直线 $x+y=6 ， x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的极值、最大值与最小值.
设某种商品的单价为 $p$ 时，售出的商品数量 $Q$ 可以表示成 $Q=\frac{a}{p+b}-c$ ，其中 $a, b, c$ 均为正数，且 $a>b c$.
(1) 求 $p$ 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少;
(2) 要使销售额最大，商品单价 $p$ 应取何值? 最大销售额是多少?
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数， $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$分别由方程 $e^{x y}-y=0$ 和 $e^z-x z=0$ 所确定，求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
设某种商品每周的需求量 $X$ 是服从区间 $[10,30]$ 上均匀分布的随机变量，而经销商进货数量为区间 $[10,30]$ 中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元; 若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品仅获利 300 元，为使商品所获利润期望值不小于 9280 元，试确定最少进货量.
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续的一阶偏导数，又函数 $y=y(x)$及 $z=z(x)$ 分别由下列两式确定:
$$
\begin{aligned}
& e^{x y}-x y=2 \text { 和 } e^x=\int_0^{x-z} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t ， \\
& \text { 求 } \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$
设 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left[x y, \frac{1}{2}\left(x^2-y^2\right)\right]$, 求 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$.
求 $f(x, y)=x^2-y^2+2$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值.
设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
(1) 验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.
求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $z=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=4$ 下的最大值和最小值.
求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值.
求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值.
设函数 $z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$ ，求
$$
\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}} \text {. }
$$
设函数 $z=f(x y, y g(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$ ，求
$$
\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}
$$
已知函数 $f(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数， $f(1,1)=2$ 是 $f(u, v)$ 的极值， $z=f[x+y, f(x, y)]$ ，求 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$.
求函数 $f(x, y)=x e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ 的极值.
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000 (万元). 设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 $x$ (件)和 $y$ (件)，且这两种产品的边际成本分别为 $20+\frac{x}{2}$ (万元 $/$ 件)与 $6+y$ (万元 $/$ 件).
(1) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 $C(x, y)$ (万元)；
(2) 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本；
(3) 求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。