一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点连续的
$\text{A.}$ 充分条件而非必要条件.
$\text{B.}$ 必要条件而非充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件.
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^{2}}$ 为某函数的全微分, 则 $a$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $-1$.
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 都在 $x=a$ 处取得极大值，则函数 $F(x)=f(x) g(x)$ 在 $x=a$.
$\text{A.}$ 必取极大值
$\text{B.}$ 必取极小值
$\text{C.}$ 不可能取极值
$\text{D.}$ 是否取极值不能确定
二、填空题 （共 1 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$, 其中函数 $f(t)$ 二阶可导, $g(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设半径为 $R$ 的球面 $\Sigma$ 的球心在定球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 上, 问当 $R$ 取何值时, 球面 $\Sigma$ 在定 球面内部的那部分的面积最大?
设 $z=f(2 x-y, y \sin x)$ , 其中 $ f(u, v) $ 具有连续的二阶偏导数, 求 $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} $
在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点 $P(x, y)$ 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 $P Q$ 长 度的倒数 ( $Q$ 是法线与 $x$ 轴的交点), 且曲线在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴平行.
设 $u=f(x, y, z), \varphi\left(x^{2}, \mathrm{e}^{y}, z\right)=0, y=\sin x$, 其中 $f, \varphi$ 都具有一阶连续偏导数, 且 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} \neq 0$, 求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
设函数 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
在第一象限内，求曲线 $y=-x^2+1$ 上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.
(1) 已知某商品的需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性为 $\eta=-3 p^3$ ，而市场对商品的最大需求量为 1 (万件)，求需求函数.
(2) 设某产品的总成本函数为 $C(x)=400+3 x+\frac{1}{2} x^2$ ，而需求函数为 $p=\frac{100}{\sqrt{x}}$ ，其中 $x$ 为产量(假定等于需求量)， $p$ 为价格. 试求:
(a) 边际成本;
(b) 边际收益;
(c) 边际利润;
(d)收益的价格弹性.
求 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ ，其中函数 $u$ 由下列等式确定:
(1) $u+e^u=x y$;
(2) $u=e^{\frac{x}{y}}$
已知 $z=a^{\sqrt{x^2-y^2}}$ ，其中 $a>0, a \neq 1$ ，求 $\mathrm{d} z$.
已知某企业的总收入函数为 $R=26 x-2 x^2-4 x^3$ ，总成本函数为 $C=8 x+x^2$ ，其中 $x$ 表示产品的产量，求利润函数，边际收入函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.
求函数 $I(x)=\int_e^x \frac{\ln t}{t^2-2 t+1} \mathrm{~d} t$ 在区间 $\left[e, e^2\right]$ 上的最大值.
设 $x^2+z^2=y \varphi\left(\frac{z}{y}\right)$ ，其中 $\varphi$ 为可微函数，求 $\frac{\partial z}{\partial y}$.
某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入 $R$ (万元) 与电台广告费用 $x_1$ (万元)及报纸广告费用 $x_2$ (万元)之间的关系有如下经验公式:
$$
R=15+14 x_1+32 x_2-8 x_1 x_2-2 x_1^2-10 x_2^2 \text {. }
$$
（1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略；
（2）若提供的广告费用为 1.5 万元, 求相应的最优广告策略.
如图， $A$ 和 $D$ 分别是曲线 $y=e^x$ 和 $y=e^{-2 x}$ 上的点， $A B$ 和 $D C$ 均垂直 $x$ 轴，且
$$
|A B|:|D C|=2: 1,|A B| < 1,
$$
求点 $B$ 和 $C$ 的横坐标，使梯形 $A B C D$ 的面积最大.
设 $z=\sin (x y)+\varphi\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $\varphi(u, v)$有二阶偏导数.
设 $f(x, y)=\int_0^{x y} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$ ，求
$\frac{x}{y} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\frac{y}{x} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} .$