一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$, 则当 $n$ 为大于 2 的正整数时, $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{n}(x)$ 是
$\text{A.}$ $n ![f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$
$\text{D.}$ $n ![f(x)]^{2 n}$
设 $f(x)=3 x^{3}+x^{2}|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$ ，则当
$n$ 为大于 2 的正整数时， $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 是
$\text{A.}$ $n![f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$
$\text{D.}$ $ n![f(x)]^{2 n}$
若 $f(-x)=f(x)(-\infty < x < +\infty)$, 且在 $(-\infty, 0)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x)>0, \quad f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x)>0, \quad f^{\prime \prime}(x)>0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x) < 0, \quad f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) < 0, \quad f^{\prime \prime}(x)>0$
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量
$$
\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha,
$$
且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量，$y(0)=\pi $
$y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $e^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{D.}$ $\pi e^{\frac{\pi}{4}}$
曲线 $y=(x-1)^2(x-3)^2$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)$ 在区间 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内具有二阶导数， $f^{\prime}(x)$ 严格单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则
$\text{A.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x) < x$
$\text{B.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)>x$
$\text{C.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x) < x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x)>x$
$\text{D.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x) < x$
设有三元方程 $x y-z \ln y+e^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{c}x=t^2+2 t \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=3$ 处的法线与 $x$ 轴交点的横坐标是
$\text{A.}$ $\frac{1}{8} \ln 2+3$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{8} \ln 2+3$
$\text{C.}$ $-8 \ln 2+3$
$\text{D.}$ $8 \ln 2+3$
设 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \Delta x$为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathbf{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \Delta x$为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathrm{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设函数 $g(x)$ 可微， $h(x)=e^{1+g(x)}, h^{\prime}(1)=1, g^{\prime}(1)=2$ ，则 $g(1)$ 等于
$\text{A.}$ $\ln 3-1$
$\text{B.}$ $-\ln 3-1$
$\text{C.}$ $-\ln 2-1$
$\text{D.}$ $\ln 2-1$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$, $\Delta x$ 为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量， $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathrm{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令 $u_n=f(n)(n=1,2, \cdots)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{B.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
$\text{C.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{D.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=\cos \left(x^2\right) \sin ^2 \frac{1}{x}$ ，则 $y^{\prime}=$
设 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
设 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right), f(u)$ 可导，则 $x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=$
设方程 $x=y^y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $\mathrm{d} y=$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，则 $\left.y^{\prime \prime \prime}\right|_{x=\sqrt{3}}=$
设 $y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$ ，则 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=$
设 $f(x, y, z)=e^x y z^2$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由 $x+y+z$ $+x y z=0$ 确定的隐函数，则 $f_x^{\prime}(0,1,-1)=$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f, g$ 均可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1 \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 向上凸的 $x$ 取值范围为
设 $y=\arctan e^x-\ln \sqrt{\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1}}$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内可导,且 $f^{\prime}(x)=e^{f(x)}$, $f(2)=1$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(2)=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t+\cos ^2 t \\ y=1+\sin t\end{array}\right.$ 上对应于 $t=\frac{\pi}{4}$ 的点处的法线斜率为
设函数 $y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $y^{(n)}(0)=$
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 $y=1+x e^{x y}$, 求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}$ 及 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}$
设 $y=\sin \left[f\left(x^2\right)\right]$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
设 $y=f(x+y)$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1 ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
设函数 $y=y(x)$ 方程 $x e^{f(y)}=e^y$ 确定，其中 $f$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime} \neq 1$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\cos t \\ y=t-\sin t\end{array}\right.$ 一拱 $(0 \leq t \leq 2 \pi)$ 的弧长.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^t f\left(u^2\right) \mathrm{d} u \\ y=\left[f\left(t^2\right)\right]^2\end{array}\right.$ 确定，其中 $f(u)$ 具有二阶导数，且 $f(u) \neq 0$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
设 $z=f(u)$ ，方 程 $u=\varphi(u)+\int_y^x p(t) \mathrm{d} t$ 确定 $u$ 是 $x, y$ 的函数，其中 $f(u), \varphi(u)$ 可微； $p(t), \varphi^{\prime}(u)$ 连续，且 $\varphi^{\prime}(u) \neq 1$ ，求 $p(y) \frac{\partial z}{\partial x}+p(x) \frac{\partial z}{\partial y}$.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ 2 y-t y^2+e^t=5\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
设 $y=y(x), z=z(x)$ 是方程 $z=x f(x+y)$ 和 $F(x, y, z)=0$ 所确定的函数，其中 $f$ 和 $F$ 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
求函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geq 3)$.
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微,且 $f(1,1)=1$ ， $f_x^{\prime}(1,1)=2 ， f_y^{\prime}(1,1)=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x))$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \varphi^3(x)\right|_{x=1}$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t^2 \\ y=\int_1^{1+2 \ln t} \frac{e^u}{u} \mathrm{~d} u\end{array}\right.$ $(t>1)$ 所确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x-9}$.