一、单选题 （共 18 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，则方程 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t=0$ 在开区间 $(a, b)$ 内的根有
$\text{A.}$ 0个
$\text{B.}$ 1个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 无穷多个
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1)$, $f(1)-f(0)$ 和 $f(0)-f(1)$ 的大小顺序是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
在区间 $(-\infty, \infty)$ 内，方程 $|x|^{\frac{1}{4}}+|x|^{\frac{1}{2}}-\cos x=0$
$\text{A.}$ 无实根
$\text{B.}$ 有且仅有一个实根
$\text{C.}$ 有且仅有二个实根
$\text{D.}$ 有无穷多个实根
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}} & x>0 \\ x^2 g(x) & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ ，且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0 ，$ 则当 $a < x < b$ 时，有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分条件是
$\text{A.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a)=0$
$\text{B.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$
$\text{C.}$ $f(a)>0$ 且 $f^{\prime}(a)>0$
$\text{D.}$ $f(a) < 0$ 且 $f^{\prime}(a) < 0$
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos h)}{h^2}$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(1-\mathrm{e}^h\right)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h-\sin h)}{h^2}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h}$ 存在
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有界且可导，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
设函数 $f(u)$ 可导， $y=f\left(x^2\right)$ 当自变量 $x$ 在 $x=-1$ 处取得增量 $\Delta x=-0.1$ 时，相应的函数增量 $\Delta y$ 的线性主部为 0.1 ，则 $f^{\prime}(1)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0.1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0.5
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则
$\text{A.}$ 当 $f(a) f(b) < 0$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=0$
$\text{B.}$ 对任何 $\xi \in(a, b)$ ，有 $\lim _{x \rightarrow \xi}[f(x)-f(\xi)]=0$
$\text{C.}$ 当 $f(a)=f(b)$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$
$\text{D.}$ 存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 取得极小值，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数等于零
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数大于零
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数小于零
$\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数不存在
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$内
$\text{A.}$ 处处可导
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(h^2\right)}{h^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在
$\text{B.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在
$\text{C.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
积分中值定理的条件是 $\qquad$ ，结论是 $\qquad$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln \left(x^2+y\right)=x^3 y+\sin x$ 确定，
则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2^{x y}=x+y$ 所确定，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}=$
设生产函数为 $Q=A L^\alpha K^\beta$ ，其中 $Q$ 是产出量， $L$ 是劳动投入量， $K$ 是资本投入量，而 $A, \alpha, \beta$ 均为大于零的参数，则当 $Q=1$ 时 $K$ 关于 $L$ 的弹性为 $\qquad$
设 $y=(1+\sin x)^x$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=\pi}=$
设二元函数 $z=x e^{x+y}+(x+1) \ln (1+y)$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,0)}=$
设函数 $f(u)$ 可微，且 $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $z=f\left(4 x^2-y^2\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,2)}=$
曲线 $\sin (x y)+\ln (y-x)=x$ 在点 $(0,1)$ 的切线方程为
曲线 $\sin (x y)+\ln (y-x)=x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则曲线 $y=f(x)$上对应 $x=0$ 处切线方程是
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $b>a>e$, 证明 $a^{b}>b^{a}$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, 且满足条件 $|f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$, 其中 $a, b$ 都是非负常数, $c$ 是 $(0,1)$ 内任意一点.
(1) 写出 $f(x)$ 在点 $x=c$ 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2) 证明 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+\frac{b}{2}$.
求证: 方程 $x+p+q \cos x=0$ 恰有一个实根，其中 $p, q$ 为常数，且 $0 < q < 1$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明 $f(x)>x$.
求函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ 在 $x=0$ 点处带拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒展开式.
曲线 $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的切线与 $x$ 轴和 $y$ 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 $a$ ，试求切线方程和这个图形的面积，当切线沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$.
设函数 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ :
(1) 当$n$为正整数，且$n \pi \leq x < (n+1) \pi$ 时，证明
$$
2 n \leq S(x) < 2(n+1) ;
$$
(2) 求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某领域内具有一阶连续导数，且 $f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，若 $a f(h)+b f(2 h)-f(0)$ 在 $h \rightarrow 0$时是比 $h$ 高阶的无穷小，试确定 $a, b$ 的值.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个领域内有二阶连续导函数，且
$$
f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0 .
$$
证明: 存在惟一的一组实数 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，使得当 $h \rightarrow 0$ 时，
$$
\lambda_1 f(h)+\lambda_2 f(2 h)+\lambda_3 f(3 h)-f(0)
$$
是比 $h^2$ 高阶的无穷小.
函数 $y=2^x$ 的麦克劳林公式中 $x^n$ 项的系数是
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=1-x e^y$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$