一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x>0$ 时,曲线 $y=x \sin \frac{1}{x} $ （ ）
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线.
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐近线.
$\text{C.}$ 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.
当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} e^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2
$\text{B.}$ 等于 0
$\text{C.}$ 为 $\infty$
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
曲线 $y=e^{\frac{1}{x^2}} \arctan \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
曲线 $y=e^{\frac{1}{x^2}} \arctan \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有
$\text{A.}$ 1 条
$\text{B.}$ 2条
$\text{C.}$ 3 条
$\text{D.}$ 4 条
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，则方程 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t=0$ 在开区间 $(a, b)$ 内的根有
$\text{A.}$ 0个
$\text{B.}$ 1个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 无穷多个
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1)$, $f(1)-f(0)$ 和 $f(0)-f(1)$ 的大小顺序是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
在区间 $(-\infty, \infty)$ 内，方程 $|x|^{\frac{1}{4}}+|x|^{\frac{1}{2}}-\cos x=0$
$\text{A.}$ 无实根
$\text{B.}$ 有且仅有一个实根
$\text{C.}$ 有且仅有二个实根
$\text{D.}$ 有无穷多个实根
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $(1-\cos x) \ln \left(1+x^2\right)$ 是比 $x \sin x^n$ 高阶的无穷小， $x \sin x^n$ 是比 $\left(e^{x^2}-1\right)$ 高阶的无穷小，则正整数 $n$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)$ 为不恒等于零的奇函数，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$
$\text{A.}$ 在 $x=0$ 处左极限不存在
$\text{B.}$ 有跳跃间断点 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
$\text{C.}$ 在 $x=0$ 处右极限不存在
$\text{D.}$ 有可去间断点 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
曲线 $y=x e^{\frac{1}{x^2}}(\quad)$
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{C.}$ 既有铅直又有水平渐近线
$\text{D.}$ 既有铅直又有斜渐近线
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ ，
$$
g(x)=\left\{\begin{array}{cl}
f\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{array}\right.
$$
则
$\text{A.}$ $x=0$ 必是 $g(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 必是 $g(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $x=0$ 必是 $g(x)$ 的连续点
$\text{D.}$ $g(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性与 $a$ 的取值有关
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b) < 0$ ，则下列结论中错误的是
$\text{A.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(a)$.
$\text{B.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)>f(b)$
$\text{C.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$.
$\text{D.}$ 至少存在一点 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $f\left(x_0\right)=0$
设函数 $f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}$, 则
$\text{A.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{B.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点， $x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点， $x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x)=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}+e\right) \tan x}{x\left(e^{\frac{1}{x}}-e\right)}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的第一类间断点是 $x=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
判定函数 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x ， f(x)$ 间断点的情况
$\text{A.}$ 有一个可去间断点，一个跳跃间断点
$\text{B.}$ 有一跳跃间断点，一个无穷间断点
$\text{C.}$ 有两个无穷间断点
$\text{D.}$ 有两个跳跃间断点
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=$
求下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2+5}{5 x+3} \sin \frac{2}{x}=$
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]=$
曲线 $y=x^2 e^{-x^2}$ 的渐近线方程为
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}=$
曲线 $y=(2 x-1) e^{\bar{x}}$ 的斜渐进线方程为
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}}, & x>0 \\ a e^{2 x}, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}[1+\ln (1+x)]^{\frac{2}{x}}=$
曲线 $y=\frac{x^2}{2 x+1}$ 的斜渐近线方程为
曲线 $y=\frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ 的斜渐近线方程为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n}=$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)=$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^{2}}}$.
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$
求证: 方程 $x+p+q \cos x=0$ 恰有一个实根，其中 $p, q$ 为常数，且 $0 < q < 1$.
求 $\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(\sqrt{x^2+100}+x\right)$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明 $f(x)>x$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$.
设函数 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ :
(1) 当$n$为正整数，且$n \pi \leq x < (n+1) \pi$ 时，证明
$$
2 n \leq S(x) < 2(n+1) ;
$$
(2) 求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$.
已知 $f(x)$ 是周期为 5 的连续函数， 它在 $x=0$ 的某个邻域内满足关系式
$$
f(1+\sin x)-3 f(1-\sin x)=8 x+\alpha(x)
$$
其中 $\alpha(x)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x$ 高阶的无穷小，且 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(6, f(6))$ 处的切线方程。