一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^{2}}=-1$, 则在 $x=a$ 处 （ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 的导数存在, 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$.
$\text{B.}$ $f(x)$ 取得极大值.
$\text{C.}$ $f(x)$ 取得极小值.
$\text{D.}$ $f(x)$ 的导数不存在.
设 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$, 则当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, 该函数在 $x=x_{0}$ 处的微分 $\mathrm{d} y$ 是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小.
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小.
$\text{C.}$ 与 $\Delta x$ 低阶的无穷小.
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小.
设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分必要条件.
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件.
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件.
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件.
设常数 $k>0$ ，函数 $f(x)=\ln (x)-\frac{x}{e}+k$ 在 $(0,+\infty)$ 内零点个数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设 $f(x)$ 可导， $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，若 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则必有
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ $f(0)+f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(0)-f^{\prime}(0)=0$
设 $f(x)$ 为可导函数，且满足条件$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1 \text { ， }$则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线斜率为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -2
设 $f(x)$ 处处可导，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=-\infty$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=-\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=+\infty$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
函数 $f(x)=\left(x^2-x-2\right)\left|x^3-x\right|$ 的不可导点的个数是
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，周期为 4 、且满足条件 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
曲线 $y=(x-1)^2(x-3)^2$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)$ 在区间 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内具有二阶导数， $f^{\prime}(x)$ 严格单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则
$\text{A.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x) < x$
$\text{B.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)>x$
$\text{C.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x) < x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x)>x$
$\text{D.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x) < x$
设 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \Delta x$为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathbf{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \Delta x$为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathrm{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$, $\Delta x$ 为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量， $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathrm{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令 $u_n=f(n)(n=1,2, \cdots)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{B.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
$\text{C.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{D.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
由方程 $x y z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,-1)$ 处的全微分 $\mathrm{d} z=$
设 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=8$, 则 $a=$
设 $y=\ln (1+a x)$, 其中 $a$ 为非零常数, 则 $y^{\prime}=$ $\qquad$ $y^{\prime \prime}=$ $\qquad$
设 $\left\{\begin{array}{c}x=f(t)-\pi \\ y=f\left(e^{3 t}-1\right)\end{array}\right.$ ，其中 $f$ 可导且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0}=$
设 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(\frac{x+t}{x-t}\right)^x$ ，则 $f^{\prime}(t)=$
已知 $y=f\left(\frac{3 x-2}{3 x+2}\right), f^{\prime}(x)=\arctan x^2$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$
已知 $f^{\prime}\left(x_0\right)=-1$, 则
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{f\left(x_0-2 x\right)-f\left(x_0-x\right)}=
$$
设 $y=\left(x+e^{-\frac{x}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$ ，则 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=$
设 $y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 可微，则 $\mathrm{d} y=$
设 $y=\arctan e^x-\ln \sqrt{\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1}}$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$
设函数 $y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $y^{(n)}(0)=$
三、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=\left(x^2+y^2\right) e^{-\arctan \frac{y}{x}}, \mathrm{~d} z$ 与 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设 $y=y(x), z=z(x)$ 是方程 $z=x f(x+y)$ 和 $F(x, y, z)=0$ 所确定的函数，其中 $f$ 和 $F$ 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
求函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geq 3)$.