2024高考新题型练习-数学组卷-自助组卷

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2024高考新题型练习

数学

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 定义有理数复数为实部和虚部均为有理数的复数, 无理数复数为实部和虚部均为无理数的复数, 半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数, 已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理数, 则三角形重心对应的复数是

A.

只能是有理数复数或半有理数复数

B.

只能是无理数变数或半有理数复数

C.

只能是半有理数复数

D.

以上选项均不对

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 已知

x, y, z

均为正整数, 且

\frac{x (y + 1)}{x - 1}, \frac{y (z + 1)}{y - 1}, \frac{z (x + 1)}{z - 1}

均为正整数, 则

x y z

的最大值和最小值之和为

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3. 由

[\frac{1^{2}}{2023}], [\frac{2^{2}}{2023}], \dots, [\frac{2023^{2}}{2023}]

构成的集合共有个 ________ 元素

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4. 十边形内任意三条对角线都不会在其内部相交于同一个点, 问这个十边形所有的对角线可以把这个十边形划分为个区域

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5. 高斯是德国著名的数学家, 近代数学奠基者之一, 享有“数学王子”的称号, 他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家, 为了纪念他, 人们把函数

y = [x] (x \in R)

称为高斯函数, 其中

[x]

表示不超过

x

的最大整数.设

S = \sum_{k = 1}^{2024} [\frac{2024^{k} + 2024 k}{(- 1)^{k} \cdot 2023}]

, 则

S

除以 2023 的余数是

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三、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 同余定理是数论中的重要内容. 同余的定义为: 设

a, b \in Z, m \in N^{*}

且

m > 1

.若

m ∣ a - b

则称

a

与

b

关于模

m

同余, 记作

a \equiv b (mod m)

(“|”为整除符号).
(1) 解同余方程

x^{2} - x \equiv 0 (mod 3)

;
(2) 设 (1) 中方程的所有正根构成数列

{a_{n}}

, 其中

a_{1} < a_{2} < a_{3} < \dots < a_{n}

.
(1)若

b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})

, 数列

{b_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 求

S_{2024}

;
(2) 若

c_{n} = \tan a_{2 n + 1} \cdot \tan a_{2 n - 1} (n \in N^{*})

, 求数列

{c_{n}}

的前

n

项和

T_{n}

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7. 交比是射影几何中最基本的不变量, 在欧氏几何中亦有应用. 设

A, B, C, D

是直线

l

上互异且非无穷远的四点, 则称

\frac{A C}{B C} \cdot \frac{B D}{A D}

(分式中各项均为有向线段长度, 例如

A B = - B A

) 为

A, B

C, D

四点的交比, 记为

(A, B; C, D)

.
(1) 证明:

1 - (D, B; C, A) = \frac{1}{(B, A; C, D)}

;
(2) 若

l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}

为平面上过定点

P

且互异的四条直线,

L_{1}, L_{2}

为不过点

P

且互异的两条直线,

L_{1}

与

l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}

的交点分别为

A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, L_{2}

与

l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}

的交点分别为

A_{2}

B_{2}, C_{2}, D_{2}

, 证明:

(A_{1}, B_{1}; C_{1}, D_{1}) = (A_{2}, B_{2}; C_{2}, D_{2})

;
(3) 已知第 (2) 问的逆命题成立, 证明: 若

△ E F G

与

△ E^{'} F^{'} G^{'}

的对应边不平行, 对应顶点的连线交于同一点, 则

△ E F G

与

△ E^{'} F^{'} G^{'}

对应边的交点在一条直线上.

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8. 对于无穷数列

{a_{n}}

, “若存在

a_{m} - a_{k} = t (m, k \in N^{*}, m > k)

, 必有

a_{m + 1} - a_{k + 1} = t

,则称数列

{a_{n}}

具有

P (t)

性质.
(1) 若数列

{a_{n}}

满足

a_{n} = {\begin{array}{cc} 2 n & (n = 1, 2) \\ 2 n - 5 & (n \geq 3, n \in N^{*}) \end{array}

, 判断数列

{a_{n}}

是否具有

P (1)

性质?是否具有

P (4)

性质?
(2) 对于无穷数列

{a_{n}}

, 设

T = {x ∣ x = a_{j} - a_{i}, i < j}

, 求证: 若数列

{a_{n}}

具有

P (0)

性质,则

T

必为有限集;
(3) 已知

{a_{n}}

是各项均为正整数的数列, 且

{a_{n}}

既具有

P (2)

性质, 又具有

P (3)

性质,是否存在正整数

N, k

, 使得

a_{N}, a_{N + 1}, a_{N + 2}, \dots, a_{N + k}, \dots

成等差数列. 若存在, 请加以证明; 若不存在, 说明理由.

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9. 概率论中有很多经典的不等式, 其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫 (Markov) 不等式和切比雪夫 (Chebyshev) 不等式. 马尔科夫不等式的形式如下:
设

X

为一个非负随机变量, 其数学期望为

E (X)

, 则对任意

ε > 0

, 均有

P (X \geq ε) \leq \frac{E (X)}{ε}

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界, 阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系. 当

X

为非负离散型随机变量时, 马尔科夫不等式的证明如下:

设

X

的分布列为

P (X = x_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, \dots, n)

其中

p_{i} \in (0, + \infty), p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1, x_{i} \in

[0, + \infty)

, 则对任意

ε > 0

P (X \geq ε) = \sum_{x_{i} \geq ε} p_{i} \leq \sum_{x_{i} \geq ε} \frac{x_{i}}{ε} p_{i} = \frac{1}{ε} \sum_{x_{i} \geq ε} x_{i} p_{i} \leq \frac{1}{ε} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i} = \frac{E (X)}{ε}

其中符号

\sum_{x_{i} \geq ε} A_{i}

表示对所有满足

x_{i} \geq ε

的指标

i

所对应的

A_{i}

求和.
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量的

X

数学期望为

E (X)

, 方差为

D (X)

, 则对任意

ε > 0

, 均有

P (| X - E (X) | \geq ε) \leq \frac{D (X)}{ε^{2}}

【类比探究】
(1) 根据以上参考资料, 证明切比雪夫不等式对离散型随机变量

X

成立;
【实际应用】
(2) 已知正整数

n \geq 5

. 在一次抽奖游戏中, 有

n

个不透明的箱子依次编号为

1, 2, \dots, n

, 编号为

i (1 \leq i \leq n)

的箱子中装有编号为

0, 1, \dots, i

的

i + 1

个大小、质地均相同的小球. 主持人邀请

n

位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球, 记从编号为

i

的箱子中抽取的小球号码为

X_{i}

, 并记

X = \sum_{i = 1}^{n} \frac{X_{i}}{i}

对任意的

n

, 是否总能保证

P (X \leq 0.1 n) \geq 0.01

(假设嘉宾和箱子数能任意多) ? 并证明你的结论.
【理论拓展】
(3) 已知

n

重伯努利试验中每次试验中事件

A

出现的概率

P = 0.75

, 请用切比雪夫不等式估计

n

, 使得事件

A

出现的频率在 0.74 和 0.76 之间的概率不低于 0.90 .

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10. 数值线性代数又称矩阵计算, 是计算数学的一个重要分支, 其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面面量

a = (x, y)

, 其模定义为

| a | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

. 类似地, 对于

n

行

n

列的矩阵

A_{n n} =

(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \dots & a_{n n} \end{array})

, 其模可由向量模拓展为

A = {(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j}^{2})}^{\frac{1}{2}}

(其中

a_{i j}

为矩阵中第

i

行第

j

列的数,

\sum

为求和符号), 记作

∥ A ∥_{F}

, 我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数, 例如对于矩阵

A_{22} = (\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}) = (\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array})

, 其矩阵模

A_{F} = {(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j}^{2})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = 3 \sqrt{6}

.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)

\forall n \in N^{*}, n ⩾ 3

, 矩阵

B_{n n} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \sqrt{n} \end{array})

, 求使

∥ B ∥_{F} > 3 \sqrt{5}

的

n

的最小值.
(2)

\forall n \in N^{*}, n ⩾ 3

, 矩阵

C_{n n} =

(\begin{array}{ccccccc} 1 & \cos θ & \cos θ & \cos θ & \dots & \cos θ & \cos θ \\ 0 & - \sin θ & - \sin θ \cos θ & - \sin θ \cos θ & \dots & - \sin θ \cos θ & - \sin θ \cos θ \\ 0 & 0 & \sin^{2} θ & \sin^{2} θ \cos θ & \dots & \sin^{2} θ \cos θ & \sin^{2} θ \cos θ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & (- 1)^{n - 2} \sin^{n - 2} θ & (- 1)^{n - 2} \sin^{n - 2} θ \cos θ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & (- 1)^{n - 1} \sin^{n - 1} θ \end{array}),

求

∥ C ∥_{F}

.

(3) 矩阵

D_{n n} = (\begin{array}{cccccc} \ln \frac{n + 2}{n + 1} & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \ln {(\frac{n + 1}{n})}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} & \ln {(\frac{n + 1}{n})}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \ln {(\frac{4}{3})}^{\frac{\sqrt{n - 1}}{n - 1}} & \ln {(\frac{4}{3})}^{\frac{\sqrt{n - 1}}{n - 1}} & \ln {(\frac{4}{3})}^{\frac{\sqrt{n - 1}}{n - 1}} & 0 & \dots & 0 \\ \ln {(\frac{3}{2})}^{\frac{\sqrt{n}}{n}} & \ln {(\frac{3}{2})}^{\frac{\sqrt{n}}{n}} & \ln {(\frac{3}{2})}^{\frac{\sqrt{n}}{n}} & \dots & \ln {(\frac{3}{2})}^{\frac{\sqrt{n}}{n}} \end{array})

,

证明:

\forall n \in N^{*}, n ⩾ 3, ∥ D ∥_{F} > \sqrt{\frac{n}{3 n + 9}}

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11. 记

A = {l (x) ∣ l (x) = k x + m, k, m \in R}

, 若

l_{0} (x) \in A

, 满足: 对任意

l (x) \in A

, 均有

max_{x \in [a, b]} | f (x) - l (x) | ⩾ max_{x \in [a, b]} | f (x) - l_{0} (x) |

, 则称

l_{0} (x)

为函数

f (x)

在

x \in [a, b]

上“最接近”直线. 已知函数

g (x) = 2 \ln x - x^{2} + 3, x \in [r, s]

.
(1)若

g (r) = g (s) = 0

, 证明: 对任意

l (x) \in A, max | g (x) - l (x) | ⩾ 1

;

(2)若

r = 1, s = 2

证明:

g (x)

在

x \in [1, 2]

上的“最接近”直线为

l_{0} (x) = (2 \ln 2 - 3) (x - \frac{1 + x_{0}}{2}) + \frac{2 + g (x_{0})}{2}

, 其中

x_{0} \in (1, 2)

且为二次方程

2 x^{2} +

(2 \ln 2 - 3) x - 2 = 0

的根.

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12. 某工厂生产某种元件, 其质量按测试指标划分为: 指标大于或等于 82 为合格品, 小于 82 为次品, 现抽取这种元件 100 件进行检测, 检测结果统计如下表:

(1) 现从这 100 件样品中随机抽取 2 件, 若其中一件为合格品, 求另一件也为合格品的概率;
(2) 关于随机变量, 俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:
若随机变量

X

具有数学期望

E (X) = μ

, 方差

D (X) = σ^{2}

, 则对任意正数

ε

, 均有

P (| x - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

成立.
(i) 若

X \sim B (100, \frac{1}{2})

, 证明:

P (0 \leq X \leq 25) \leq \frac{1}{50}

;
(ii) 利用该结论表示即使分布未知, 随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为

90 %

, 那么根据所给样本数据, 请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信? (注: 当随机事件

A

发生的概率小于 0.05 时, 可称事件

A

为小概率事件)

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13. ①在微积分中, 求极限有一种重要的数学工具一洛必达法则, 法则中有结论: 若函数

f (x), g (x)

的导函数分别为

f^{'} (x), g^{'} (x)

, 且

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0

, 则

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

.
②设

a > 0, k

是大于 1 的正整数, 若函数

f (x)

满足: 对任意

x \in [0, a]

, 均有

f (x) \geq f (\frac{x}{k})

成立, 且

lim_{x \to 0} f (x) = 0

, 则称函数

f (x)

为区间

[0, a]

上的

k

阶无穷递降函数.
结合以上两个信息, 回答下列问题:
(1) 试判断

f (x) = x^{3} - 3 x

是否为区间

[0, 3]

上的 2 阶无穷递降函数;
(2) 计算:

lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}

;
(3) 证明:

{(\frac{\sin x}{x - π})}^{3} < \cos x, x \in (π, \frac{3}{2} π)

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14. 微积分的创立是数学发展中的里程碑, 它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期, 为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 对于函数

f (x) = \frac{1}{x} (x > 0), f (x)

在区间

[a, b]

上的图像连续不断, 从几何上看, 定积分

\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x

便是由直线

x = a, x = b, y = 0

和曲线

y = \frac{1}{x}

所围成的区域 (称为曲边梯形

A B Q P)

的面积, 根据微积分基本定理可得

\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = \ln b - \ln a

, 因为曲边梯形

A B Q P

的面积小于梯形

A B Q P

的面积, 即

S_{曲边梯形 A B Q P} < S_{梯形 A B Q P}

, 代入数据, 进一步可以推导出不等式:

\frac{a - b}{\ln^{a -} \ln^{b}} > \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法, 证明:

\frac{a - b}{\ln^{a -} \ln^{b} b} < \frac{a + b}{2}

;
(2)已知函数

g^{'} (x) = - 2 \sin 2 x + a \cos x = - 4 \sin x \cos x + a \cos x

, 其中

a, b \in R

.
①证明: 对任意两个不相等的正数

x_{1}, x_{2}

, 曲线

y = f (x)

在

(x_{1}, f (x_{1}))

和

(x_{2}, f (x_{2}))

处的切线均不重合;
②当

b = - 1

时, 若不等式

f (x) \geq 2 \sin (x - 1)

恒成立, 求实数

a

的取值范围.

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15. “物不知数” 是中国古代著名算题, 原载于《孙子算经》卷下第二十六题: “今有物不知其数, 三三数之剩二: 五五数之剩三; 七七数之剩二. 问物几何? ”问题的意思是, 一个数被 3 除余 2 , 被 5 除余 3 , 被 7 除余 2 , 那么这个数是多少? 若

m

个数

x

被

m

除余

r

, 我们可以写作

x \equiv r (mod m)

. 它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的. 大衍求一术 (也称作“中国剩余定理”) 是中国古算中最有独创性的成就之一, 现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序. 中国剩余定理: 假设整数

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}

两两互质, 则对任意的整数:

r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}

方程组

{\begin{matrix} x \equiv r_{1} (mod m_{1}) \\ x \equiv r_{2} (mod m_{2}) \\ \dots \\ x \equiv r_{n} (mod m_{n}) \end{matrix}

一定有解, 并且通解为

x = k M + r_{1} t_{1} M_{1} +

r_{2} t_{2} M_{2} + \dots + r_{n} t_{n} M_{n}

, 其中

k

为任意整数,

M = m_{1} m_{2} \dots m_{n}, M_{i} = \frac{M}{m_{i}}, t_{i}

为整数, 且满足

M_{i} t_{i} =

1 (mod m_{i})

(1) 求出满足条件的最小正整数, 并写出第

n

个满足条件的正整数;
(2)在不超过 4200 的正整数中, 求所有满足条件的数的和. (提示: 可以用首尾进行相加).

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16. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是: “在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. "意大利数学家托里拆利给出了解答, 当

△ A B C

的三个内角均小于

120^{\circ}

时, 使得

∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}

的点

O

即为费马点; 当

△ A B C

有一个内角大于或等于

120^{\circ}

时, 最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且

\cos 2 B + \cos 2 C - \cos 2 A = 1

(1)求

A

;
(2)若

b c = 2

, 设点

P

为

△ A B C

的费马点, 求

\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}

;
(3) 设点

P

为

△ A B C

的费马点,

| P B | + | P C | = t | P A |

, 求实数

t

的最小值.

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17. 如图, 已知椭圆

Γ

的短轴长为 4 , 焦点与双曲线

\frac{x^{2}}{4 - t} - \frac{y^{2}}{t} = 1

的焦点重合. 点

P (4, 0)

, 斜率为

\frac{1}{2}

的直线

l_{1}

与椭圆

Γ

交于

A, B

两点.
(1)求常数

t

的取值范围, 并求椭圆

Γ

的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)

极点与极线是法国数学家吉拉德

\cdot

迪沙格于 1639 年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的. 对于椭圆

Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

, 极点

P (x_{0}, y_{0})

(不是原点) 对应的极线为

l_{P} : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1

, 且若极点

P

在

x

轴上, 则过点

P

作椭圆的割线交

Γ

于点

A_{1}, B_{1}

, 则对于

l_{P}

上任意一点

Q

, 均有

k_{Q A_{1}} + k_{Q B_{1}} = 2 k_{P Q}

(当斜率均存在时）.已知点

Q

是直线

l_{1}

上的一点，且点

Q

的横坐标为 2. 连接

P Q

交

y

轴于点

E

. 连接

P A, P B

分别交椭圆

Γ

于

M, N

两点.
①设直线

A B 、 M N

分别交

y

轴于点

D

、点

T

, 证明: 点

E

为

D 、 T

的中点;
②证明直线:

M N

恒过定点, 并求出定点的坐标.

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18. 交比是射影几何中最基本的不变量, 在欧氏几何中亦有应用. 设

A, B, C, D

是直线

l

上互异且非无穷远的四点, 则称

\frac{A C}{B C} \cdot \frac{B D}{A D}

(分式中各项均为有向线段长度, 例如

A B = - B A

) 为

A, B, C, D

四点的交比, 记为

(A, B; C, D)

.
(1)证明:

1 - (D, B; C, A) = \frac{1}{(B, A; C, D)}

;
(2) 若

l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}

为平面上过定点

P

且互异的四条直线,

L_{1}, L_{2}

为不过点

P

且互异的两条直线,

L_{1}

与

l_{1}

l_{2}, l_{3}, l_{4}

的交点分别为

A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, L_{2} 与 l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}

的交点分别为

A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}

, 证明:

(A_{1}, B_{1}; C_{1}, D_{1}) = (A_{2}, B_{2}; C_{2}, D_{2})

;
(3)已知第 (2) 问的逆命题成立, 证明: 若

△ E F G

与

△ E^{'} F^{'} G^{'}

的对应边不平行, 对应顶点的连线交于同一点, 则

△ E F G

与

△ E^{'} F^{'} G^{'}

对应边的交点在一条直线上.

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渐近线抛体运动与圆周运动高数下册积分练习20题高数下册积分练习20题 2.4高等数学练习

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