单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设有向曲线 $L$ 上任一点 $(x, y)$ 处的切向量为 $(1,2 x)$, 则将 曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 化为第一类曲线积分的结果为
$\text{A.}$ $\int_L(P+2 x Q) \mathrm{d} s$;
$\text{B.}$ $\int_L(2 x P+Q) \mathrm{d} s$;
$\text{C.}$ $\int_L \frac{P+2 x Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$;
$\text{D.}$ $\int_L \frac{2 x P+Q}{\sqrt{1+4 x^2}} \mathrm{~d} s$.
若曲线积分 $\int_L x^2 y^2 \mathrm{~d} x+a x^3 y \mathrm{~d} y$ 的结果与路径无关, 则 $a=$.
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 2
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=2-\left(x^2+y^2\right)$ 在 $x o y$ 平面上方的部分, 则 $I=\iint_{\Sigma} z d S=\begin{array}{ll}\quad \end{array}$
$\text{A.}$ $\int_1^{2 \pi} d \theta \int_0^{2-r^2}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d \theta \int_1^2\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_{-1}^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ （ ）, 其中 $\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2, z \geq$ $0, R>0$ 且 $x, y, z \in \mathbb{R}$.
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}$ $(z \geqslant 0)$ 的上侧.
设空间曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+4 y^2=1 \\ x+2 y+z=1\end{array}\right.$, 从 $z$ 轴正向看是顺时针方向, 则
$$
\oint_L \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z\left(x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} z}{x^2+4 y^2}=
$$