2.4高等数学练习-数学组卷-自助组卷

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2.4高等数学练习

数学

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 设曲面

Σ

是上半球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} (z \geq 0)

, 曲面

Σ_{1}

是

Σ

在第一卦限中的部分, 则有

A.

\iint_{Σ} x d S = 4 \iint_{Σ_{1}} x d S

B.

\iint_{Σ} y d S = 4 \iint_{Σ_{1}} y d S

C.

\iint_{Σ} z d S = 4 \iint_{Σ_{1}} z d S

D.

\iint_{Σ} x y z d S = 4 \iint_{Σ_{1}} x y z d S

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2. 设

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

的下半球面的下侧, 将曲面积分

\iint_{Σ} x^{2} y^{2} z d x d y

化为二重积分为

A.

- \iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} (- \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}) d x d y, D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

B.

- \iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y

,

D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

C.

\iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} (R^{2} - x^{2} - y^{2}) d x d y

,

D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

D.

- \iint_{D_{x y}} x^{2} y^{2} (R^{2} - x^{2} - y^{2}) d x d y

,

D_{x y} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

3. 计算

\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2}) d S

, 其中

Σ : z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 4)

.

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4. 设

z = f (e^{x} \sin y, x^{2} + y^{2}), f

其有二阶连续偏导数, 求

\frac{\partial z}{\partial y}

及

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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5. 设函数

F (x, y)

具有一阶连续偏导数,

z = z (x, y)

是由方程

F (\frac{x}{z}, \frac{y}{z}) = 0

所确定的隐函数, 试求表达式

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}

。

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6. 计算三重积分

∭_{Ω} z d v

, 其中

Ω

为曲面

z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}

及

z = x^{2} + y^{2}

所围成的闭区域。

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7. 计算

\iint (x + y + z) d S

, 其中曲而

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

上

z \geq h (0 < h < a)

的部分

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2.4高等数学练习高等数学2.1练习题

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