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高等数学2.1练习题

数学

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 已知曲面

z = 4 - x^{2} - y^{2}

上点

P

处的切平面平行于平面

2 x + 2 y + z - 1 = 0

, 则点

P

的坐标是

A.

(1, - 1, 2)

.

B.

(- 1, 1, 2)

.

C.

(1, 1, 2)

.

D.

(- 1, - 1, 2)

.

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2. 设有直线

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 8}{1}

与

L_{2} : {\begin{cases} x - y = 6 \\ 2 y + z = 3 \end{cases}

, 则

L_{1}

与

L_{2}

的夹角为 ( )

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{π}{2}

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3. 设函数

f (x, y) = 1 + \frac{x y}{\sqrt{1 + y^{3}}}

, 则积分

I = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{1} f (x, y) d y =

A.

\frac{1}{3} (\sqrt{2} + 1)

.

B.

\frac{1}{6} (\sqrt{2} - 1)

.

C.

\frac{1}{6} (\sqrt{2} + 1)

.

D.

\frac{1}{3} (\sqrt{2} - 1)

.

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4. 设

f (x, y)

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

处有二阶连续偏导数, 且

f (x, y)

在

P_{0}

处取得极大值, 则

A.

f_{x x}^{''} (P_{0}) ⩾ 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) ⩾ 0

.

B.

f_{x x}^{''} (P_{0}) < 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) < 0

.

C.

f_{x x}^{''} (P_{0}) ⩽ 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) ⩽ 0

.

D.

f_{x x}^{''} (P_{0}) ⩽ 0, f_{y y}^{''} (P_{0}) ⩾ 0

.

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5. 下列积分收敛的是 ( ).

A.

\int_{1}^{2} \frac{d x}{(\ln x)^{3}}

B.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x

C.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x \ln x}

D.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + \frac{1}{5} x} d x

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二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 与两直线

{\begin{cases} x = 1, \\ y = - 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}

及

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}

都平行, 且过原点的平面方程为

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7. 过点

M (1, 2, - 1)

且与直线

{\begin{cases} x = - t + 2 \\ y = 3 t - 4 \\ z = t - 1 \end{cases}

垂直的平面方程是

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8. 设

z = z (x, y)

由方程组

{\begin{cases} x = (t + 1) \cos z, \\ y = t \sin z \end{cases}

确定,

t = t (x, y)

, 则

\frac{\partial z}{\partial x} =

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9.

f (x, y) = e^{2 x} (x + 2 y + y^{2})

的极值为

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10. 设二元函数

z = z (x, y)

有二阶连续偏导数, 且满足

6 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 1,

令变量

{\begin{cases} u = x - 2 y \\ v = x + 3 y \end{cases}

, 那么

\frac{\partial^{2} z}{\partial u \partial v} =

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11. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 则二重积分

I = \iint_{D} \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x + y} d x d y =

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12. 设

z = \frac{1}{x} f (x^{2} y) + x y g (x + y)

，其中

f, g

具有二阶连续导数，计算

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

.

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 设

f (x) = {\begin{cases} 1 + x^{2}, & x ⩽ 0, \\ e^{- x}, & x > 0, \end{cases}

求

\int_{1}^{3} f (x - 2) d x

.

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14. 计算定积分

\int_{- 1}^{1} \frac{2 x^{2} + x \cos x}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}} d x

.

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15. 设函数

f (x)

连续，且

\int_{0}^{x} t f (2 x - t) d t = \frac{1}{2} \arctan (x^{2})

. 已知

f (1) = 1

，
求

\int_{1}^{2} f (x) d x

的值.

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16. 计算

\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2}) d S

, 其中

Σ : z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 4)

.

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17. 求二重积分

\iint_{D} \frac{d σ}{\sqrt{x + y + 4}}

, 其中

D = {(x, y) : | x | + | y | \leq 1} .

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