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高数下册积分练习20题

数学

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设有向曲线

L

上任一点

(x, y)

处的切向量为

(1, 2 x)

, 则将曲线积分

\int_{L} P d x + Q d y

化为第一类曲线积分的结果为

A.

\int_{L} (P + 2 x Q) d s

;

B.

\int_{L} (2 x P + Q) d s

;

C.

\int_{L} \frac{P + 2 x Q}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d s

;

D.

\int_{L} \frac{2 x P + Q}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d s

.

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2. 若曲线积分

\int_{L} x^{2} y^{2} d x + a x^{3} y d y

的结果与路径无关, 则

a =

.

A.

\frac{3}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{1}{3}

D.

2

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3. 设

Σ

为曲面

z = 2 - (x^{2} + y^{2})

在

x o y

平面上方的部分, 则

I = \iint_{Σ} z d S = \begin{array}{ll}  \end{array}

A.

\int_{1}^{2 π} d θ \int_{0}^{2 - r^{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

B.

\int_{0}^{2} d θ \int_{1}^{2} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

C.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{- 1}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) r d r

D.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 计算三重积分

∭_{Ω} z \cos (x^{2} + y^{2}) d x d y d z =

（　　）, 其中

Ω

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq

0, R > 0

且

x, y, z \in R

.

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5. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

, 其中

Σ

是曲面

1 - \frac{z}{7} = \frac{(x - 2)^{2}}{25} + \frac{(y - 1)^{2}}{16}

(z ⩾ 0)

的上侧.

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6. 设空间曲线

L

的方程为

{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 1 \\ x + 2 y + z = 1 \end{cases}

, 从

z

轴正向看是顺时针方向, 则

\oint_{L} \frac{- y d x + x d y + z (x^{2} + 4 y^{2}) d z}{x^{2} + 4 y^{2}} =

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7. 设

L

是直线

y = x

上点

O (0, 0)

到点

A (1, 1)

的一段弧, 则

\int_{L} (x + y) d s =

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8.

\int_{L} e^{x} (1 - 2 \cos y) d x + 2 e^{x} \sin y d y =

(其中

L

是

y = \sin x

上从点

A (π, 0)

到点

O (0, 0)

的一段弧

)

.

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 设

Σ

为曲面

Z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (\leq x^{2} + y^{2} \leq 4)

的下侧,

f (x)

是连续函数, 计算

I = \iint_{Σ} [x f (x y) + 2 x y - y] d y d z + [y f (x y) + 2 y + x] d z d x + [z f (x y) + z] d x d y

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10. 计算曲面积分

∭ \int_{D} \sqrt{\frac{1 - x^{2} - y^{2} - z^{2} - w^{2}}{1 + x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}}} d x d y d z d w

其中

D

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} \leq 1, x, y, z, w \geq 0

.

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11. 设

Σ

为曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

介于

z = 0

与

z = 1

之间部分的下侧,

f (x)

为连续函数, 计算

I = \iint_{Σ} [- x f (x + y) - 2 x] d y d z + [- 2 y - y f (x + y)] d z d x + [- z f (x + y)] d x d y .

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12. 计算第二型曲面积分

I = \iint_{S} \frac{x d y d z + z^{4} d x d y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} .

其中

S

是圆柱面

x^{2} + y^{2} = 1

和平面

z = - 1, z = 1

所围成的立体的表面外侧.

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13. 计算

\int_{L} x y^{2} d y - x^{2} y d x

, 其中

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)

, 逆时针方向.

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14. 计算曲线积分

\prod_{L} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d s

, 其中

L : {\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{9}{2}, \\ x + z = 1 . \end{matrix}

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15. 求曲线积分:

\int_{L} [{(x^{2} + y^{2})}^{2} + y^{2}] d s

，其中

L : x^{2} + y^{2} = x

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16. 求曲面积分:

\iint_{S} x z d y d z - x^{2} y d z d x + y^{2} z d x d y

，其中

S

由

z = x^{2} + y^{2}

，柱面

x^{2} + y^{2} = 1

以及三个坐标面在第一卦限所围曲面外侧.

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17. 计算积分

I = ∭_{x^{2} + y^{2} \leq x + y} (x + y) d x d y

。解: 极坐标: 令

x = r \cos θ, y = r \sin θ

, 则

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