高等数学33-数学组卷-自助组卷

导出试卷打印试卷试卷白板

高等数学33

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 计算极限:

lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n + \sqrt{1}} + \frac{1}{n + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{n + \sqrt{n}})

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

2. 计算：

lim_{x \to 0} \frac{x - \int_{0}^{x} {(1 + \sin^{2} t)}^{2} d t}{x^{2} \sin x}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

3. 解答如下问题:
(1)叙述闭区间套定理.
(2) 用闭区间套定理证明聚点定理.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

4. 证明: 若闭区间

[a, b]

上的单调有界函数

f (x)

能取到

f (a)

与

f (b)

之间的一切值，则

f (x)

是闭区间

[a, b]

上的连续函数.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

5. 设

f (x)

在

(a, b)

上可导，且已知

x_{1}, x_{2} \in (a, b), x_{1} < x_{2} 且 f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) < 0 .

证明: 存在

ξ \in (x_{1}, x_{2})

，使得

f^{'} (ξ) = 0

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

6. 设无穷积分

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x

收敛.
(1) 证明: 若

f (x)

在

[a, + \infty)

上一致连续，则

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0 .

(2) 若去掉 “一致连续” 能否推出 "

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

" ? 若可以，请证明，否则举出反例.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

7. 若

a_{2 n - 1} = \frac{1}{n}, a_{2 n} = \int_{n}^{n + 1} \frac{d x}{x}

，证明: 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

条件收敛.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

8. 设二元函数

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{2 x y^{3}}{x^{2} + y^{4}}, x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2} + y^{2} = 0 \end{cases}

. 讨论

f

在原点的连续性，偏导数的存在性以及

f

在原点的可微性.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

9. 求积分

I = \int_{L} e^{x} (1 - \cos y) d x - e^{x} (y - \sin y) d y ，

其中

L

为曲线

y = \sin x

从

O = (0, 0)

到

A = (π, 0)

段。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

10. 求积分

\int_{0}^{e} \cos (\ln x) d x

的值。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

11. 求常微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

的通解

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

12. 求函数

y = 4 e^{- x} (2 x^{2} + x + 1) - 5

的单调区间，极值，上凸区间Q与下凸区间，以及拐点的横坐标。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

13. 设

D

为

y = \sqrt{x (1 - x)}

与

x

轴围成的有界区域。
( I ) 求

D

的面积；
(II) 求

D

绕

x

轴旋转一周所成旋转体体积。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

14. 设平面曲线

y = y (x)

满足

y (0) = 1 ， y^{'} (0) = 0

，且对曲线上任意点

P (x, y)

(x > 0)

，沿曲线从点

(0, 1)

到点

P (x, y)

的弧长等于该曲线在点

P (x, y)

的切线斜率，求

y (x) (x > 0)

。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

15. 设

f (x)

是

R

上以

T

为周期的周期函数Q，且连续，证明:
( I ) 函数

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t - \frac{x}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t

是以

T

为周期的周期函数；
(II)

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t

。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

16. 设可导函数

f (x)

满足

f (1) = 1

，且对

x \geq 1

时，有

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + f^{2} (x)}

。
( I ) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限；
(II) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x) \leq 1 + \frac{π}{4}

。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判

A +

)
设

f \in C [0, 1] ， g

为非负的周期函数，周期为 1 ，且

g \in R [0, 1]

，求证:

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{1} f (x) g (n x) d x = (\int_{0}^{1} f (x) d x) (\int_{0}^{1} g (x) d x) 。

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

17. 设函数

f (x) = {\begin{cases} x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x > 0, \\ b, & x = 0, \\ \frac{1 - \cos x}{(- x)^{a - 2}}, & x < 0 \end{cases}

有连续的导函数, 求 a 的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

18. 设非负函数

y (x)

在

(0, + \infty)

内可导且单调减少. 记曲线

y = y (x)

上任意一点

P

处的切线与

x

轴,

y

轴的交点分别为

P_{x}, P_{y}

. 若

| P P_{x} | = 2 | P P_{y} |

, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线

y = y (x)

的方程;
(II) 曲线

y = y (x)

在点

(2, y (2))

处的曲率半径.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

19. 设

Σ

为曲面

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (z ⩾ 0)

的下侧, 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} (x + 2 y) d y d z + \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} d z d x + (x^{2} - \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) d x d y .

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

20. 设

a

为常数, 反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{a} \arctan x^{b}}{\sqrt{1 + x^{c}}} d x

对任意正实数

b, c

均收玫.
(I) 求

a

的值.
(II) 证明:

\frac{\sqrt{2} π^{2}}{8} ⩽ \int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{a} \arctan x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x ⩽ \frac{π (π + 2)}{8}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

21. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{4}} [\ln (1 + \sin^{2} x) - 6 (\sqrt[3]{2 - \cos x} - 1)]

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

22. 求极限

lim_{x \to 0} \int_{0}^{x} {(\frac{\arctan t}{t})}^{\frac{1}{\int_{0}^{t} \ln (1 + u) d u}} \cot x d t

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

23. 求极限

lim_{x \to + \infty} {[\frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})}]}^{x^{2} \ln x}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

24. 设

f (x)

连续,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

. 求极限

lim_{x \to 0} {[1 + \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t]}^{(t a n x - x) \ln (1 + x)}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

25. 设

f_{n} (x) = x n^{- x} (n = 1, 2, \dots)

. 问

{f_{n} (x)}

在

[0, + \infty)

是否一致收敛.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

26. 计算极限

lim_{x \to 1} (\frac{m}{1 - x^{m}} - \frac{n}{1 - x^{n}}) .

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

27. 设

{y_{n}}

是趋于正无穷的严格递增数列, 求证:

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{x_{n}}{y_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

28. 设

f (x)

连续,

g (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} (x - t)^{n} f (t) d t

, 计算

g^{(n + 1)} (x)

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

29. 求函数

f (x) = (1 - x) \sqrt{| x |}

在

(- 1, 1)

的极值点和极值.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

高等数学32 高等数学31 高等数学30 高等数学29 高等数学28

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与