高等数学30-数学组卷-自助组卷

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高等数学30

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f (x)

二阶可导并且

f (x)

具有反函数

f^{- 1} (x), f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{f^{- 1} (x)}]

。

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2. 若二元函数

f (u, v)

对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足

u \frac{\partial f}{\partial u} + v \frac{\partial f}{\partial v} = 4 f (u, v)

, 并且满足

\frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = u^{2} + v^{2}

。
(1) 求证:

{\begin{cases} u^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + 2 u v \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} + v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = 12 f (u, v) \\ v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} - 2 u v \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} + u^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = {(u^{2} + v^{2})}^{2} - 12 f (u, v) \end{cases}

(2) 记

g (x, y) = f (e^{λ x} \cos y, e^{λ x} \sin y)

, 其中

λ

是一个常数, 求解

\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}

。

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3. 计算

\iint_{D} (x y e^{x^{2} + y^{2}} + x^{2}) d x d y

, 其中

D : x^{2} + y^{2} < | x | + | y |

。

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4. 设函数

f (x)

的定义域为全体实数, 并且

f (x)

具有二阶导数, 并且

f^{''} (x) > 0, f^{'} (x) > 0

, 在同一个坐标系下, 曲线

y = f (x)

和直线

y = x

有且只有两个交点

P_{1} (a, f (a))

和

P_{2} (b, f (b))

, 其中

a < b

。
(1) 求证:

f^{'} (a) < 1 < f^{'} (b)

。并且

\forall x < a

, 一定有

f (x) > x; \forall a < x < b

, 一定有

f (x) < x

。
(2) 设数列

{x_{n}}

满足

x_{n + 1} = f (x_{n})

, 求证: 当

x_{1} < a

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

; 当

a < x_{1} < b

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

。

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5. 计算

lim_{n \to \infty} [\sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{2} + k} - \frac{n}{3}]

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6. 设

p

是某正整数，

I_{n} = \frac{1^{p} + 2^{p} + \dots + n^{p}}{n^{p}} - \frac{n}{p + 1}

，试求

lim_{n \to \infty} I_{n}

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7. 设

n

为给定的正整数，

[x]

表示

x

的取整，

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin t d t = - \frac{1}{2} π \ln 2

. 计算

I = \int_{0}^{1} [n x] \cdot \frac{\ln x + \ln (1 - x)}{\sqrt{x (1 - x)}} d x .

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8. 设

x > 0

时，

(1 + x^{2}) f^{'} (x) + (1 + x) f (x) = 1 ， g^{'} (x) = f (x), f (0) = g (0) = 0

.
证明:

\sum_{n = 1}^{\infty} g (\frac{1}{n}) < \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{12}

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9. 试求曲线

{(x^{3} + y^{3})}^{2} = x^{2} + y^{2}

所围的平面图形区域在第一象限部分的面积.

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10. 设函数

y = f (x)

在

(0, + \infty)

内严格单调递增且可导，

x = f^{- 1} (y)

为其反函数，

\forall x, y > 0, x y \leq \frac{1}{2} [x f (x) + y f^{- 1} (y)] .

求

f (x)

的解析式.

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11. 一个底半径为 1 ，高为 6 的圆柱形水桶，在距离底部为 2 处有两个小孔，且两个,小孔的连线与圆柱的轴线垂直相交，试问该水桶最多能盛多少水!

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12. 讨论下列数列的敛散性。

a_{n} = \sqrt[n]{1 + \sqrt[n]{2 + \sqrt[n]{3 + \dots + \sqrt[n]{n}}}}

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13. 设

f (x) \in C [a, b], f (a) = f (b)

。证明, 存在数列

x_{n}, y_{n}

满足

x_{n} < y_{n}

lim_{n \to \infty} (y_{n} - x_{n}) = 0, 且 f (x_{n}) = f (y_{n}) 。

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14. 证明

\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} C_{n}^{k} \frac{1}{1 + k + m} = \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} C_{m}^{k} \frac{1}{1 + k + n}

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15. 无穷乘积

\prod_{n = 1}^{\infty} (1 + a_{n})

收玫, 是否无穷级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛。如果是证明你的结论, 如果不是举出反例。

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16. 设

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} \ln x

, 计算

\int_{0}^{1} f (x) d x

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17. 设定义在

(0, + \infty)

上的函数二阶可导,

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在,

f^{''} (x)

有界,证明

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

。

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18. 设序列

x_{n}

有界, 且

lim_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_{n}) = 0

。
记

{\lim^{―}}_{n \to \infty} x_{n} = J, {\lim_{―}}_{n \to \infty} x_{n} = L . (J < L)

。
证明对

[J, L]

中的任何实数都是

x_{n}

中某子列的极限。

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19. 对

p > 0

, 讨论级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin \frac{n π}{4}}{n^{p} + \sin \frac{n π}{4}}

的绝对收敛性和收敛性。

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20. 求函数

f (x) = \frac{2 x \sin θ}{1 - 2 x \cos θ + x^{2}}

在

x = 0

的泰勒展开。其中

θ

是常数. 并计算积分

\int_{0}^{π} \ln (1 - 2 x \cos θ + x^{2}) d θ

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21. 证明

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2}

, 并计算

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin^{2} (x y)}{x^{2}} d x

。

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22. 已知函数

f (x) = \frac{x^{3}}{(1 + x)^{2}} + 3

, 请列表给出: 函数

f (x)

的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数

f (x)

的所有渐近线.

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23. 求一组使得极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} (\sqrt{1 + t^{4}} - 1) d t}{\ln (1 - x^{α})} = β \neq 0, (α, β

为实数) 成立的

α, β

的值.

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24. 求函数

f (x) = max {1, x^{2}}

在区间

(- \infty, + \infty)

上的一个原函数

F (x)

,使得

F (0) = 1

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25. 计算定积分

\int_{0}^{π} \sqrt{\sin x - \sin^{3} x} d x

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26. 已知函数

f (x)

连续, 请讨论

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

与

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos x) d x

的大小关系, 并计算定积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\ln (1 + \sqrt{\sin x}) - \ln (1 + \sqrt{\cos x}) + \sin^{3} x}{2} d x

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27. 函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上有一阶连续导数, 且对任意的

x \in (0, + \infty)

满足

x \int_{0}^{1} f (t x) d t = 2 \int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x) + x^{3}

, 且

f (1) = 0

, 求

f (x)

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28. 求由平面曲线

y = x \sin x, y = x, (0 \leq x \leq \frac{π}{2})

所围成图形的面积, 及此图形绕

x

轴旋转所得旋转体的体积。

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29. 证明: 若函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续, 则在开区间

(a, b)

内至少存在一点

ξ

, 使

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a)

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