一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
假设存在常数 $C$ 使得对任意非负整数 $n$ 都有 $\left|f^{(n)}(x)\right| \leq C^n$ 。证明，对任意 $x_0 \in \mathbb{R} ， f(x)$ 有无穷 Taylor 级数
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k, \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
证明实轴 $\mathbb{R}$ 不能分解为可数个长度大于零的不交闭区间的并。
假设定义在区间 $(a, b)$ 上的函数 $f$ 的左右导数处处存在，证明 $f$ 至多在可数个点处不可导。
考虑无穷级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, \quad x \in[-\pi, \pi]
$$
1)证明级数在 $x=0, \pm \pi$ 处绝对收敛，在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上条件收敛；
2) 记极限函数为 $S(x)$ ，证明 $S(x)$ 是 $[-\pi, 0) \cup(0, \pi]$ 上的连续函数；
3) 证明函数 $S(x)$ 在 0 处不连续。
已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_a^{y+x} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right)^{\frac{1}{f(x)}}$.
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 通过点 $(0,0)$ 和 $(1,2)$, 且 $a < 0$, 试确定 $a, b, c$ 的值使该拖物线与 $x$轴所围图形 $D$ 的面积最小,并求此图形 $D$ 绕直线 $x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积.
计算线积分 $I=\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 为由点 $A(-1,0)$ 经点 $B(1,0)$ 到点 $C(-1,2)$ 的路径, $\overparen{A B}$ 为下半圆周, $\overline{B C}$ 为直线.
设 $f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n^2-1}$, 求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的单调性.
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{4 x-\sin 4 x}{8 x^2 \sin x}$ 。
设 $y=e^{f(\sin 2 x)}$, 其中 $f$ 具有二阶导数, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ 。
考察函数 $y=\frac{x^2+3 x+2}{2(x-1)}$ 的铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{\sqrt{t}}-1\right) d t}{x^2 \ln (1+3 x)}$ 。
$\int x \sin \frac{x}{3} d x$ 。
$\int_{\frac{3}{4}}^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x}-1}$ 。
设 $a_n=n \int_0^{\frac{n+1}{n}} \frac{x^{n-1}}{1+x^n} d x$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 。
某产品的需求量 $Q$ 对价格 $P$ 的函数是 $Q=200-P$, 设成本 $C$ 是 $Q$ 的函数: $C=C(Q)$, 已知平均成本为 $\bar{C}(Q)=Q+4$, 欲使利润最大, 价格应定为多少?
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} d t$, 求 $\int_0^\pi f(x) d x$ 。
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的可导函数, 且满足: $0 < f(x) < 1$, 试证:
(1) 至少存在一点 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=\xi^{2019}$;
（2）至少存在一点 $\eta \in(0,1)$, 使得 $3 f(\eta)+\eta f^{\prime}(\eta)=2022 \eta^{2019}$ 。
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。
设 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=1+t^3\end{array}\right.$, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$.
设 $f(x)$ 为多项式，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)-2 x^3}{x^2}=1, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=3$, 求 $f(x)$
求函数 $y=\ln \left(x^2+1\right)$ 的图形的拐点和凹凸区间
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=\int_1^{y+x} e^{-u^2} d u$ 所确定, 求 $y(0), y^{\prime}(0)$ 和 $y^{\prime \prime}(0)$
设 $f(x)$ 有二阶连续导数, 在 $x=0$ 的去心邻域内 $f(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=e^3$,求 $f^{\prime \prime}(0)$ 及 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$
设 $f^{\prime}(\cos x)=\sin x, 0 < x < \pi$, 求 $f(x)$
计算不定积分 $\int \frac{x+1}{x^2-2 x+5} d x$
设 $\int_0^2 f(x) d x=1, f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$, 求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) d x$