设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 证明:
$$
\lim _{\lambda \rightarrow 0^{+}} \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x .
$$
设
$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rr}
\left( x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\
0 ,(x, y)=(0,0)
\end{array} .\right.
$
证明:
(1) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续;
(2) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处存在偏导数;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数不连续；
(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.
如图, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内求一点 $x$, 使得阴影部分面积最小, 并求出该最小值.
设 $y=y(x)$ 为微分方程满足初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=0, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.$ 的解, 求极限 $\lim _{x \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{y^2(x)-\frac{\pi^2}{16}}{2 x^2-1}$.
要制作一个中间为圆柱, 两端为相同的正圆雉的空浮标, 其体积为定值. 若要求用料最少, 求此时圆柱的高, 圆柱的半径和圆锥的高的比例.
求 $\iint_D|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$.
证明: 当 $x \geqslant 0$ 时, 存在 $\theta(x) \in(0,1)$, 使得 $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\theta(x)}}=2$, 且 $\theta(x)$ 满足:
( I ) $\frac{1}{4} \leqslant \theta(x) < \frac{1}{2} ;$
(II) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^x+x\right)}{x}\right]$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1) .$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x \sqrt{1+x^2+x^4}}\right)}{\ln \left(\tan \left(x \sqrt{2+x^2+x^4}\right)\right)}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right]^{x^2 \ln x}$
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^2-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程
求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^2+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$.
计算 $\int \frac{\arccos x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-1}^1 \frac{x+2}{e^x+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n ! \cdot 2^n}(x-2)^n$ 的收敛域与和函数.
计算二重积分: $\iint_D \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为直线 $y=x$与抛物线 $x=y^2$ 所围成的封闭区域.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 y}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 \quad, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，求二阶偏导数 $f_{x y}^{\prime \prime}$.
设函数 $f(x)=\pi-x$ ，其中 $x \in[0, \pi]$.
（1）将 $f(x)$ 展开为余弦级数，并在 $[-\pi, \pi]$ 上写出和函数表达式.
(2) 判断该级数在 $[0, \pi]$ 内是否一致收敛，并说明原因.
计算曲线积分: $I=\oint_L y^2 \mathrm{~d} x+z^2 \mathrm{~d} y+x^2 \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与柱面 $x^2+y^2=a x$ 的交线，从 $z$ 轴正向看过去为逆时针方向，其中 $z \geq 0, a>0$.
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_0^x \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$.
计算含参量反常积分: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^y} \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1 .
$$
证明: 必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
设 $D=\{(x, y): 0 < x < 1,0 < y < +\infty\}$ ，证明：对任意的 $(x, y) \in D$ ，成立不等式: $y \cdot x^y \cdot(1-x) < \frac{1}{e}$.
设 $f_n(x)=n^\alpha \cdot x e^{-n x},(n=1,2, \cdots)$ ，问:
(1) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛?
(2) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛?
(3) 当 $\alpha$ 为何值时，以下等式成立?
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 \lim _{n \rightarrow+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x $
设 $a_n>0$ ，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，以 $S_n$ 表示前 $n$ 项的和，即 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^n a_k$.
证明: (1) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n}$ 发散.
(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n{ }^2}$ 收敛.
证明: 若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上分别对每个自变量 $x$ 和 $y$ 都连续，并且对 $x$ 是单调的，则函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内为连续函数.
解答如下问题:
(1) 叙述 $\mathbb{R}^n$ 上的有限覆盖定理.
(2) 设对任意的 $x_0 \in[a, b]$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$ ，证明:
$f(x) \in \mathbb{R}[a, b] \text { 且 } \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0 $