一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$ \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right) \ln (1-x)}$
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\int_0^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^2\right) d t}{x^{\frac{5}{2}}}$
$ \int \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} d x$
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+4 x+13} \mathrm{~d} x$
设 $f(x)$ 是可导函数, 且 $f(x) \cos x+2 \int_0^x f(t) \sin t \mathrm{~d} t=x+1$, 求 $f(x)$.
求由曲线 $ y=2 x, x y=2, y=\frac{x^2}{4} $ 所围成平面图形的面积.
设 $f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的正值连续函数, 试证: 存在唯一的 $\xi \in(a, b)$, 使得:
$$
\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\xi}^b f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
计算下列极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_1^x\left[t^2\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
(2) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
已知函数 $f(u)$ 具有二阶导数, 且 $f^{\prime}(0)=1$, 函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x \mathrm{e}^{y-1}=1$ 所确定. 设 $z=f(\ln y-\sin x)$, 求 $\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+2 t+1 \\ t-\int_1^{y+t} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u=0\end{array}\right.$ 确定, 求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$.
计算 $\int \frac{x^2 e^x}{(x+2)^2} d x$.
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$, 其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$.
试确定方程 $\mathrm{e}^x=a x^2(a>0)$ 的实根个数.
试证: 当 $x \geqslant 0$ 时, $x \leqslant \mathrm{e}^x \ln (1+x)$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $g(a)=g(b)=1, f^{\prime}(x) \neq 0$. 试证存在 $\xi, \eta \in(a, b)$, 使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\mathrm{e}^{\xi-\eta}\left[g(\xi)+g^{\prime}(\xi)\right]$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x-x^2 \cos \frac{1}{x}}{\left(e^{-x}-1\right)(1+\cos x)}$.
求 $y=x^{\sin x}(x>0)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t}{\ln \left(1+x^6\right)}$.
求不定积分 $\int \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$.
计算定积分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{x \sin ^2 x}{1+\cos ^2 x}+\frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}\right) \mathrm{d} x$.
在曲线 $y=x^2(x \geq 0)$ 上点 $A$ 处作切线, 该切线与曲线以及 $x$ 轴所围图形的面积为 $\frac{1}{12}$.
(1) 求点 $A$ 的坐标和切线方程;
(2) 求由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设 $a_1>0, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}, n=1,2, \cdots$, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=0$.
对函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 填写下表:
