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高等数学29

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

z = (1 + x y)^{2} \ln (1 + x y)

, 求

z_{x}^{'}

。

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2. 解方程

y^{'} - \frac{2}{x} y = 2 x^{2}

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3. 求椭球面

x^{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = 1

上一点, 使得在这点的椭球面切平面与

x - y + 2 x = 4

平行。

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4. 求函数

u = x^{3} + 2 y^{2} - 3 x - 12 y

的极值。

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5. 计算计算

\int_{L} (x + y) d s

, 其中曲线

L : x^{2} + y^{2} = 2 x

。

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6. 计算

∭_{Ω} z^{2} d x d y d z

, 其中

Ω

由

z = 3 - x^{2} - y^{2}

和

z = 0

所围。

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7. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\ln^{2} n}{2^{n}} (x - 2)^{2 n}

的收敛半径与收敛区间。

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8. 求球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

被平面

x + y + z = 0

所截的上半部分在

x o y

面上的投影区域的面积。

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9. 设

x = e^{u + v}, y = e^{u - v}

, 试将方程

x^{2} z_{x x}^{''} + y^{2} z_{y y}^{''} + x z_{x}^{'} + y z_{y}^{'} = 0

从化为关于自变量

u, v

的方程 (假设

z = z (x, y)

有连续的二阶偏导数)。

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10. 计算

\iint_{Σ} (x^{2} + 2 y z) d y d z + (y^{2} + 2 z x) d z d x + (z^{2} + 2 x y) d x d y

, 其中

Σ

为曲面

z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

的上侧。

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11. 计算

\int_{L} (e^{x} \cos y + y^{2}) d x + (2 x y - e^{x} \sin y) d y

, 其中有向曲线

L

是

y = x^{2}

从

O (0, 0)

到

A (1, 1)

的一段。

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12. 求幂级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1} x^{n}

的和函数。

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13. 证明

\frac{3}{2} π < ∭_{Ω} \sqrt{x + 2 y - 2 z + 5} d x d y d z < 3 π

,其中

Ω : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1

。

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14. 试用Beta函数表示

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{a}}{{(1 + x^{2})}^{b}} d x

, 其中

a, b

为实数且

a > 0, 2 b - a > 1

。

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15. 已知平面

Σ

经过直线

L : {\begin{cases} x + 3 y + z = 0 \\ x - y + 2 z = 0 \end{cases}

且与平面

Σ_{0} : 3 x + z = 6

的夹角为

\frac{π}{3}

, 求

Σ

的方程。

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16. 设曲面

Σ

是由平面曲线

r = a (1 + \cos θ) (a > 0)

绕极轴旋转一周所成, 其中

x

轴正向与极轴相重合。(1) 试写出

Σ

在相应空间直角坐标系中的方程; (2) 求

Σ

的面积。

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17. 设

a > 0

, 试确定

a

的范围使得曲线

y = a^{x}

与直线

y = x

必相交 (要求说明理由)。

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18. 设

a > 0

, 试确定

a

的范围使得曲线

y = a^{x}

与直线

y = x

必相交 (要求说明理由)。

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19. 设函数

f (x)

于

[0, + \infty)

上连续, 且满足

f (x) = \frac{1}{x^{2} + {(\int_{0}^{x} f (t) d t + \sqrt{3})}^{2}},

(1) 证明: 反常积分

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

收玫, 且其值小于

\frac{π}{2 \sqrt{3}}

;
(2) 设数列

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

满足

x_{n + 1} = \int_{0}^{x_{n}} f (t) d t, n \geq 1, x_{1} \geq 0

, 试证:

lim_{n \to + \infty} x_{n}

存在且有限。

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20. 设

A = {(a_{k j})}_{3 \times 3}

是3阶实方阵,

| A | \neq 0

, 记

D (x) = {(a_{k j} + x)}_{3 \times 3}

及

g (x) = \det D (x)

。（1）试求导数

g^{'} (x)

并证明:

g^{'} (0) = | A | α^{T} (A^{- 1}) α

, 其中向量

α^{T} = (1, 1, 1)

;
(2) 若

A = (\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 \end{array})

, 求

g^{'} (0)

。

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21. 已知

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, g^{'} (x) = \frac{1}{1 + 2 x}

, 且

f (0) = g (0) = 0

, 试求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{g (x)}]

.

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22. 讨论方程

\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1} = a

在

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

内根的个数.

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23. 求

x = \cos t (0 < t < π)

将方程

(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} + y = 0

化为

y

关于

t

的微分方程, 并求满足

{y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 2

的解.

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24. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} 2 (1 - x y) d y d z + (x + 1) y d z d x - 4 y z^{2} d x d y,

其中

Σ

是弧段

{\begin{cases} z = \sqrt{x - 1}, \\ y = 0 \end{cases}, (1 ⩽ x ⩽ 3)

绕

x

轴旋转一周所得的旋转曲面,

Σ

上任一点的法向量与

x

轴正向夹角大于

\frac{π}{2}

.

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25. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{- \cot x}{e^{- x}} + \frac{1}{e^{- 2 x} \sin^{2} x} + \frac{1}{x^{2}})

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26. 计算积分

\int_{0}^{+ \infty} e^{- \frac{1}{4 s}} s^{- \frac{3}{2}} e^{- s} d s

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27. 判断下列积分的正负, 并给出理由

\int_{0}^{2 π} e^{- x^{2}} \cos x d x

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28. 求极限

lim_{\begin{matrix} x_{0} \to 0 \\ x_{1} \to + \infty \end{matrix}} I (x_{0}, x_{1}) = \iint_{S} \frac{e^{- x^{2}}}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} d y d z

其中

S

由

x = y^{2} + z^{2}

和

x = x_{0}, x = x_{1} (a > 0, x_{0} < x_{1})

所围成, 方向取外侧.

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29. 求解以下问题
(1). 证明方程

(x + 1)^{x + 1} = e \cdot x^{x}

只有唯一正实根
(2). 若

f (x)

二阶可导,

p (x) = x - x^{2}

，证明：

\int_{k}^{k + 1} f (x) d x = \frac{f (k + 1) + f (k)}{2} - \int_{k}^{k + 1} f^{''} (x) p (x - [x]) d x

其中

[x]

为取整函数.
(3) 若

β

为(1)中方程的正实根，计算

lim_{n \to + \infty} (β + \frac{1}{n}) (β + \frac{2}{n}) \dots (β + \frac{n}{n})

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