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高等数学28

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 证明下列问题
(1).

\forall x > 0, y \in R

, 则有

x y < x \ln x - x + e^{y}

;
(2).

\sum_{k = 0}^{n} C_{α}^{k} C_{β}^{n - k} = C_{α + β}^{n}

, 其中

C_{α}^{k} = \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}, C_{α}^{0} = 1

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2. 求证

lim_{n \to + \infty} {(\int_{0}^{1} (a + x^{n}) f (x) d x)}^{\frac{1}{n}} = 1 + a

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3. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上可导, 若

f (x) = f (x + 2 k) = f (x + b)

其中

k

为正整数,

b

为正无理数, 则利用傅立叶级数证明

f (x)

为一常数.

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4. 设函数

f (x) = e^{- x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2023}}{1 + t^{2}} d t

, 正整数

n \leq 2023

, 求导数

f^{(n)} (0)

.

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5. 设函数

f (x)

在区间

(0, 1)

内有定义,

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0

, 且

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (\frac{x}{3})}{x} = 0

. 证明:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x} = 0

.

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6. 设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续, 在

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 2

. 证明: 存在两两互异的点

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} \in (0, 1)

, 使得

f^{'} (ξ_{1}) f^{'} (ξ_{2}) \sqrt{1 - ξ_{3}} \geq 2

.

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7. 设函数

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{\ln (1 + t)}{1 + e^{- t} \sin^{3} t} d t, (x > 0)

, 证明级数

\sum_{n = 1}^{\infty} f (\frac{1}{n})

收敛, 且

\frac{1}{3} < \sum_{n = 1}^{\infty} f (\frac{1}{n}) < \frac{5}{6}

.

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8. 设

0 < k < 1

, 且

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

, 证明:

lim_{n \to \infty} (a_{n} + k a_{n - 1} + \dots + k^{n - 1} a_{1} + k^{n} a_{0}) = \frac{a}{1 - k} .

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9. 设

f (x)

在

[0, 1]

上二阶连续可微, 且存在

M > 0

, 使得

| f^{''} (x) | \leq M, x \in [0, 1]

. 又设

f (x)

在

(0, 1)

内可取到最大值. 证明:

| f^{'} (0) | + | f^{'} (1) | \leq M

.

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10. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛, 证明函数项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}

在

x \in [0, + \infty)

上一致收敛

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11. 设

f (x)

是

[0, + \infty)

上的可导函数，且导函数

f^{'}

处处连续，假设

\int_{0}^{+ \infty} f^{2} (x) d x

与

\int_{0}^{+ \infty} {[f^{'} (x)]}^{2} d x

均收敛，
证明

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

.

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12. 设

f (x)

是

[a, b]

上的连续函数，且

f (x) > 0 ， x \in [a, b]

.证明

lim_{p \to 0^{+}} {(\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f^{p} (x) d x)}^{\frac{1}{p}} = \exp {\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} \ln f (x) d x}

其中

\exp (t) = e^{t}

表示指数函数

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13. 设

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

为n个非零实数，证明n维欧氏空间

R^{n}

上定义的

n

元函数

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}

在条件

\frac{x_{1}}{a_{1}} + \frac{x_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{a_{n}} = 1

的最小值存在，并求解。

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14. 判断广义二重积分

\iint \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} d x d y

的敛散性，并结出理由。

{(x y, \in R^{2} ∣ x ⩾ 1, y ⩾ 1}

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15. 计算曲面积分

\iint_{Σ} (x + y^{2} + z^{2}) d y d z - z d x d y .

其中

Σ

为旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2}

介于

z = 0

和

z = 2

之间的部分的下侧.

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16. 求

lim_{x \to 0} [\frac{\int_{0}^{x} e^{- t} \cos t d t}{\ln^{2} (1 + x)^{0}} - \frac{1}{x}]

.

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17. 设

0 < a_{1} < 1, a_{n + 1} = \ln (2 - a_{n}) + a_{n}

, 证明: 数列

{a_{n}}

收敛, 并求

lim_{n \to \infty} a_{n}

.

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18. 已知

z = f (x^{2}, x + y + z)

, 其中

f

连续可偏导, 且

e^{y + z} = x^{2} + z

, 求

\frac{d z}{d x}

.

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19. 设

f (x)

二阶可导,

f (0) = 0, f (1) = 1, \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2}

.
(I) 证明: 存在

c \in (0, 1)

, 使得

f (c) = c

;
(II) 证明: 存在

ξ \in (0, 1)

, 使得

f^{''} (ξ) = 1 - f^{'} (ξ)

.

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20. 求级数

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 n^{2} + n + 1}{2 n + 1} x^{2 n}

的和函数.

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21. 求

lim_{x \to 0} {\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \dots + a_{n}^{x}}{n}}^{\frac{1}{x}} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)

.

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22. 计算

I = \int \frac{e^{- \sin x} \sin 2 x}{\sin^{4} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})} d x

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23.

lim_{x \to 1^{-}} (1 - x)^{3} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{n}

.

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24.

lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 5}{x^{3} \sin \frac{1}{x^{2}}} =

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25. 求积分

\int_{1}^{+ x} \frac{d x}{x \sqrt{1 + x^{5} + x^{10}}}

.

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26.

lim_{x \to \infty} \frac{\ln \sqrt{\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}}}{\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x} - 1} =

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27.

lim_{x \to 0} \frac{\sin x - e^{x} + 1}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}} =

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28.

lim_{x \to 0} {(\sin \frac{x}{2} + \cos 2 x)}^{\frac{1}{x}} =

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29.

lim_{x \to 0} \frac{{(\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t)}^{2}}{x} =

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