一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
证明下列问题
(1). $\forall x>0, y \in R$, 则有 $x y < x \ln x-x+\mathrm{e}^y$;
(2). $\sum_{k=0}^n C_\alpha^k C_\beta^{n-k}=C_{\alpha+\beta}^n$, 其中
$$
C_\alpha^k=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)}{k !}, C_\alpha^0=1
$$
求证
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_0^1\left(a+x^n\right) f(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1+a
$$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导, 若
$
f(x)=f(x+2 k)=f(x+b)
$
其中 $k$ 为正整数, $b$ 为正无理数, 则利用傅立叶级数证明 $f(x)$ 为一常数.
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x} \int_0^x \frac{t^{2023}}{1+t^2} \mathrm{~d} t$, 正整数 $n \leq 2023$, 求导数 $f^{(n)}(0)$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有定义, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f\left(\frac{x}{3}\right)}{x}=0$. 证明: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=2$. 证明: 存在两两互异的点 $\xi_1, \xi_2, \xi_3 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right) f^{\prime}\left(\xi_2\right) \sqrt{1-\xi_3} \geq 2$.
设函数 $f(x)=\int_0^x \frac{\ln (1+t)}{1+e^{-t} \sin ^3 t} \mathrm{~d} t,(x>0)$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收敛, 且 $\frac{1}{3} < \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{5}{6}$.
设 $0 < k < 1$, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$, 证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+k a_{n-1}+\cdots+k^{n-1} a_1+k^n a_0\right)=\frac{a}{1-k} .
$$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可微, 且存在 $M>0$, 使得 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, x \in[0,1]$. 又设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内可取到最大值. 证明: $\left|f^{\prime}(0)\right|+\left|f^{\prime}(1)\right| \leq M$.
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^x}$在 $x \in[0,+\infty)$ 上一致收敛
设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的可导函数，且导函数 $f^{\prime}$ 处处连续，假设 $\int_0^{+\infty} f^2(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty}\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x$ 均收敛，
证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $f(x)>0 ， x \in[a, b]$.证明 $\lim _{p \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p(x) d x\right)^{\frac{1}{p}}=\exp \left\{\frac{1}{b-a} \int_a^b \ln f(x) d x\right\}$其中 $\exp (t)=e^t$ 表示指数函数
设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为n个非零实数，证明n维欧氏空间 $R^n$ 上定义的 $n$ 元函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$在条件 $\frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\cdots+\frac{x_n}{a_n}=1$ 的最小值存在，并求解。
判断广义二重积分 $\iint \frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} d x d y$ 的敛散性，并结出理由。 $\left\{\left(x y, \in R^2 \mid x \geqslant 1, y \geqslant 1\right\}\right.$
计算曲面积分$
\iint_{\Sigma}\left(x+y^2+z^2\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $
其中 $\Sigma$ 为旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 介于 $z=0$ 和 $z=2$ 之间的部分的下侧.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-t} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln ^2(1+x)^0}-\frac{1}{x}\right]$.
设 $0 < a_1 < 1, a_{n+1}=\ln \left(2-a_n\right)+a_n$, 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
已知 $z=f\left(x^2, x+y+z\right)$, 其中 $f$ 连续可偏导, 且 $\mathrm{e}^{y+z}=x^2+z$, 求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$.
(I) 证明: 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=c$;
(II) 证明: 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1-f^{\prime}(\xi)$.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+n+1}{2 n+1} x^{2 n}$ 的和函数.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right\}^{\frac{1}{x}}\left(a_i>0, i=1,2, \cdots, n\right)$.
计算 $I=\int \dfrac{e^{-\sin x} \sin 2 x}{\sin ^4\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)} \mathrm{d} x$
$\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x)^3 \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$.
$\lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{3 x-5}{x^3 \sin \frac{1}{x^2}}=$
求积分 $\int_1^{+x} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1+x^5+x^{10}}}$.
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \sqrt{\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}}}{\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}-1}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-e^x+1}{1-\sqrt{1-x^2}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos 2 x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right)^2}{x}=$