一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
解方程$ \left(x^2+y^2+3\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x\left(2 y-\frac{x^2}{y}\right) $
设 $\Sigma_1$ 是以 $(0,4,0)$ 为顶点且与曲面 $\Sigma_2: \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{3}=1(y>0)$ 相切的圆锥面, 求曲面 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma_2$ 所围成的空间区域的体积.
设 $I_n=n \int_1^a \frac{\mathrm{d} x}{1+x^n}$, 其中 $a>1$. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(0)=0$. 求证:
$$
\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \leqslant 4 \int_0^1(1-x)^2\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x
$$
并求使上式成为等式的 $f(x)$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_0=\frac{1}{3}$, $x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}, n \geqslant 0$. 证明: 无穷级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x_n$ 收敛并求其和.
设曲线 $y=3 a x^2+2 b x+\ln c$ 经过 $(0,0)$ 点, 且当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $y \geqslant 0$. 设该曲线与直线 $x=1, x$ 轴所围图形的平面图形 $D$ 的面积为 1 . 试求常数 $a, b, c$ 的值, 使得 $D$ 绕 $x$ 轴一周后, 所得旋转体的体积最小.
解方程 $\left(x^2+y^2+3\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x\left(2 y-\frac{x^2}{y}\right) $
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导且 $f(0)>0$, $f(1)>0, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 证明:
(1) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上至少有两个零点;
(2) 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+3 f^3(\xi)=0$.
设 $ {u=f(x, y, z)}, z=z(x, y)$ 是由方程 ${\varphi(x+y, z)=1}$所确定的隐函数, 求 $\frac{\partial u}{\partial x}, d u, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$. 其中 $f$ 和 $\varphi$ 有二阶连续偏导数且 $\varphi_2 \neq 0$.
设函数 $z=z(x, y)$ 的微分 $d z=(2 x+12 y) d x+(12 x+4 y) d y$ 且 $z(0,0)=0$, 求函数 $z=z(x, y)$ 在 $4 x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大值
计算曲线积分 $I=\oint_L\left[\frac{4 x-y}{4 x^2+y^2}-\frac{y}{(x-1)^2+y^2}\right] \mathrm{d} x+\left[\frac{x+y}{4 x^2+y^2}+\frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}\right] \mathrm{d} y$, 其中 $L$是 $x^2+y^2=4$ 的边界曲线, 方向为逆时针.
对于任意二阶连续可导的函数 $f(u), z=\int_0^y \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+f(x+a y)$ 均是方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 y \mathrm{e}^{y^2}$ 的解, 求 $a$ 的值.
求曲线 $y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设$ a_n=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-n^2 x^2} \mathrm{~d} x, n=1,2, $求 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n a_{n+2} \text {. }
$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$.
计算积分 $\int_0^1 \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^n}$.
设 $D$ 是由 $y=x^3, y=-c^3, x=-c(c \neq 0)$ 围成的积分区域,且 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数, 求二重积分
$$
\iint_D x(1+y f(1+|\sin x|+\cos y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
设立体区域 $\Omega$ 是由 $O y z$ 面曲线 $y^2+z^4-4 z^2=0, z \geq 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $O x y$ 平面所围成的点 $(x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $z=u(x, y, z)$, 求重心坐标.
设 $a>1$, 且.
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^a, & x \text { 为有理数 } \\
0, & x \text { 为无理数 }
\end{array} .\right.
$$
讨论 $f(x)$ 的可微性.
证明含参变量积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x
$$
在 $0 \leq \alpha_0 \leq \alpha < +\infty$ 上一致收敛,并问其在 $0 < \alpha < +\infty$ 上是否一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且满足 $f_{+}^{\prime}(a) < c < f_{-}^{\prime}(b)$, 证明: 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=c$.
给出函数 $f(x)=2[x]-[2 x]$ 的最小正周期并给予证明.
设 $\alpha>0$, 若 $n x_n=1+o\left(n^{-\alpha}\right)$, 则数列 $x_1+x_2+\cdots+x_n-\ln n$ 收敛.
设一元函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且存在两个正数 $A < B$ 满足 $A < \left|f^{\prime}(x)\right| < B$,证明: $f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上一致连续,但 $f\left(x^3+y^3\right)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上不一致连续.
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\left(2-a_n\right) a_{n+1}=1$, 证明:
(a)存在正整数 $k$, 使得 $a_k \leq 1$.
(b) 数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在极限, 并求其极限值.
(c) 若 $a_1 \neq 1$, 则 $a_n(n=1,2, \cdots)$ 两两不等.
(d) 满足题设且 $a_1 \neq 1$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导, 目 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{1 / n}{1-\cos (1 / n)}}$.
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} \mathrm{~d} x$.