一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 连续可微, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$. 求证 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续.
设 $D=\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$, 实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^2+\beta^2=1$, 计算二重积分
$$
\iint_D \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-\alpha x+\beta y)^2+(\beta x+\alpha y)^2}} .
$$
利用变换 $u=x+e^y, v=x-e^y$ 求解微分方程 $e^{2 y} z_{x x}-z_{y y}+z_y=0$.
计算 $f(x, y)=5 x^2+5 y^2-8 x y$ 在条件 $x^2+y^2-x y=75$ 下的最小值.
计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2023)}{2^{n+2023}}$.
计算 $\oint_L \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^2+y^2}, L$ 是 $x^2+2 y^2=1$ 沿逆时针方向.
已知空间的两条直线
$$
l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{2}, l_2: \frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{1} \text {. }
$$
(1) 证明 $l_1$ 和 $l_2$ 异面.
(2) 求 $l_1$ 和 $l_2$ 公垂线的标准方程.
(3) 求连接 $l_1$ 上的任一点和 $l_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方 程，并判断其形状.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数且 $f(a)=0$ ，证明:
$$
\int_a^b\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b\left[f^{\prime}(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .
$$
证明级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{3 n-2}$ 条件收敛并求其和.
设 $F(r)=\int_0^{2 \pi} \mathrm{e}^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta, r \in R$. 证明:
$$
F(r) \equiv 2 \pi .
$$
设 $V_1, V_2$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的二个子空间，且
$$
\operatorname{dim}\left(V_1\right)+\operatorname{dim}\left(V_2\right)=\operatorname{dim}(V)=n .
$$
证明: 必存在一个线性变换 $\sigma$ ，使得
$$
\operatorname{Im}(\sigma)=V_2, \operatorname{Ker}(\sigma)=V_1 .
$$
设 $\sigma$ 是数域 $\mathrm{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换. 如果 $\sigma$ 的矩阵 可以对角化，则对 $\sigma$ 的任意一个不变子空间 $M$ ，证明:
(1) $\left.\sigma\right|_M$ 的矩阵也可以对角化.
(2) 存在 $\sigma$ 的不变子空间 $N$ ，使得 $V=M \oplus N$.
设 $a_1=2, a_{n+1}=2+\frac{1}{a_n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=a, a \in R$. 证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime}(0)=a$.
计算定积分 $\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x \cdot \arctan \mathrm{e}^x}{1+\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，且
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\} .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(2) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设平面区域 $D$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上投影区间的长度分别为 $l_x$ 和 $l_y, S_D$ 表示平面区域 $D$ 的面积， $(\alpha, \beta)$ 为 $D$ 内任意一点，证明:
(1) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq l_x l_y S_D$ ；
(2) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{l_x^2 l_y^2}{4}$.
设 $\Omega: x^2+y^2+2 z^2 \leq x+y+2 z$, 计算三重积分
$$
I=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} V
$$
已知 $S$ 是空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+3 y^2=1, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转生成的椭球面的 上半部分 $(z \geq 0)$ ， 取上侧， $\Pi$ 是 $S$ 在 $P(x, y, z)$ 点处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 是原点到切平面 $\Pi$ 的距离， $\lambda, \mu, v$ 表示 $S$ 的正法向的方 向余弦，计算:
(1) $\iint_S \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$;
(2) $\iint_S z(\lambda x+3 \mu y+v z) \mathrm{d} S$.
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sin x+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t ，
$$
判定级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 敛散性.
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶连续导数. 二元函数 $F(x, y)=x^2 f\left(\frac{y}{x}\right)+f(x y)$, 且满 足 $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}-\frac{y^2}{x^2} \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{2 y}{x} \ln \frac{y}{x}$. 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
设函数 $f(x, y)=\sqrt{\left|x^2-a y^2\right|}(a>0)$ 在点 $O(0,0)$ 处沿着从点 $O$ 到点 $P(1,-1)$ 的方向 的方向导数为 $\sqrt{2}$.
(I) 求曲面 $z=f(x, y)$ 与平面 $y=1$ 的交线在 $z O x$ 面上的投影曲线绕 $z$ 轴旋转一周所得旋转 曲面 $\Sigma$ 的方程;
(II) 求函数 $g(x, y, z)=x^2-a y^2-z^2$ 在曲面 $\Sigma$ 位于 $x^2+y^2 \leqslant 5$ 的部分上沿方向 $(1,-1,2)$ 的方向导数的最小值.
设曲线 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=\frac{\pi^2}{4}$ 上从点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 到点 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一段, 计算曲线积分
$$
I=\int_L \frac{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}}{2} \cos x \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{2} \sin x \mathrm{~d} y .
$$
设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别满足 $x_n=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^n, a_n=\frac{x_{2 n}}{x_{2 n-1}}, b_n=\prod_{i=1}^n a_i$.
(I) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$;
(II ) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n$ 存在.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(A+B x+C x^2\right)}{x^3}=D$ ，求常数 $A, B, C, D$.
设 $f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ ，求 $f^{(2019)}(0)$.
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续可导的函数， $f(a)=f(b)=0$.
证明:
$$
\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^2}{4} \max _{a \leq x \leq b}\left|f^{\prime}(x)\right| .
$$
计算不定积分 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$.
计算积分 $\int_0^1 x^m(\ln x)^n \mathrm{~d} x$ ，其中 $m, n$ 为自然数.