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高等数学32

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f (x)

在

[1, + \infty)

连续可微,

| f^{'} (x) | \leq 1 (x \geq 1)

. 求证

\frac{f (x)}{x}

在

[1, + \infty)

一致连续.

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2. 设

D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1}

, 实数

α, β

满足

α^{2} + β^{2} = 1

, 计算二重积分

\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{(1 - α x + β y)^{2} + (β x + α y)^{2}}} .

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3. 利用变换

u = x + e^{y}, v = x - e^{y}

求解微分方程

e^{2 y} z_{x x} - z_{y y} + z_{y} = 0

.

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4. 计算

f (x, y) = 5 x^{2} + 5 y^{2} - 8 x y

在条件

x^{2} + y^{2} - x y = 75

下的最小值.

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5. 计算

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (n + 2023)}{2^{n + 2023}}

.

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6. 计算

\oint_{L} \frac{(x + y) d x + (y - x) d y}{x^{2} + y^{2}}, L

是

x^{2} + 2 y^{2} = 1

沿逆时针方向.

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7. 已知空间的两条直线

l_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 3}{2}, l_{2} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1} .

(1) 证明

l_{1}

和

l_{2}

异面.
(2) 求

l_{1}

和

l_{2}

公垂线的标准方程.
(3) 求连接

l_{1}

上的任一点和

l_{2}

上的任一点线段中点的轨迹的一般方程，并判断其形状.

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8. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上有连续的导函数且

f (a) = 0

，证明:

\int_{a}^{b} | f (x) f^{'} (x) | d x \leq \frac{b - a}{2} \int_{a}^{b} {[f^{'} (x)]}^{2} d x .

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9. 证明级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{3 n - 2}

条件收敛并求其和.

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10. 设

F (r) = \int_{0}^{2 π} e^{r \cos θ} \cos (r \sin θ) d θ, r \in R

. 证明:

F (r) \equiv 2 π .

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11. 设

V_{1}, V_{2}

是数域

F

上

n

维线性空间

V

的二个子空间，且

\dim (V_{1}) + \dim (V_{2}) = \dim (V) = n .

证明: 必存在一个线性变换

σ

，使得

Im (σ) = V_{2}, Ker (σ) = V_{1} .

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12. 设

σ

是数域

K

上

n

维线性空间

V

上的线性变换. 如果

σ

的矩阵可以对角化，则对

σ

的任意一个不变子空间

M

，证明:
(1)

{σ |}_{M}

的矩阵也可以对角化.
(2) 存在

σ

的不变子空间

N

，使得

V = M \oplus N

.

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13. 设

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 + \frac{1}{a_{n}}

，求

lim_{n \to \infty} a_{n}

.

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14. 设

f (x)

在

x = 0

处连续，且

lim_{x \to 0} \frac{f (2 x) - f (x)}{x} = a, a \in R

. 证明:

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f^{'} (0) = a

.

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15. 计算定积分

\int_{- π}^{π} \frac{x \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1 + \cos^{2} x} d x

.

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16. 设函数

f (x)

在区间

[0, 2]

上具有连续导数，且

f (0) = f (2) = 0, M = max_{x \in [0, 2]} {| f (x) |} .

证明: (1) 存在

ξ \in (0, 2)

，使得

| f^{'} (ξ) | \geq M

；
(2) 若对任意的

x \in (0, 2), | f^{'} (x) | \leq M

，则

M = 0

.

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17. 设平面区域

D

在

x

轴和

y

轴上投影区间的长度分别为

l_{x}

和

l_{y}, S_{D}

表示平面区域

D

的面积，

(α, β)

为

D

内任意一点，证明:
(1)

| \iint_{D} (x - α) (y - β) d x d y | \leq l_{x} l_{y} S_{D}

；
(2)

| \iint_{D} (x - α) (y - β) d x d y | \leq \frac{l_{x}^{2} l_{y}^{2}}{4}

.

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18. 设

Ω : x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} \leq x + y + 2 z

, 计算三重积分

I = ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V

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19. 已知

S

是空间曲线

{\begin{cases} x^{2} + 3 y^{2} = 1, \\ z = 0 \end{cases}

绕

y

轴旋转生成的椭球面的上半部分

(z \geq 0)

，取上侧，

Π

是

S

在

P (x, y, z)

点处的切平面，

ρ (x, y, z)

是原点到切平面

Π

的距离，

λ, μ, v

表示

S

的正法向的方向余弦，计算:
(1)

\iint_{S} \frac{z}{ρ (x, y, z)} d S

;
(2)

\iint_{S} z (λ x + 3 μ y + v z) d S

.

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20. 已知函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，且满足

f (x) = \sin x + \int_{0}^{x} t f (x - t) d t ，

判定级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} f (\frac{1}{n})

敛散性.

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21. 设函数

f (u)

在

(0, + \infty)

内具有二阶连续导数. 二元函数

F (x, y) = x^{2} f (\frac{y}{x}) + f (x y)

, 且满足

\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} = \frac{2 y}{x} \ln \frac{y}{x}

. 若

f (1) = 1

, 求

f (u)

的表达式.

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22. 设函数

f (x, y) = \sqrt{| x^{2} - a y^{2} |} (a > 0)

在点

O (0, 0)

处沿着从点

O

到点

P (1, - 1)

的方向的方向导数为

\sqrt{2}

.
(I) 求曲面

z = f (x, y)

与平面

y = 1

的交线在

z O x

面上的投影曲线绕

z

轴旋转一周所得旋转曲面

Σ

的方程;
(II) 求函数

g (x, y, z) = x^{2} - a y^{2} - z^{2}

在曲面

Σ

位于

x^{2} + y^{2} ⩽ 5

的部分上沿方向

(1, - 1, 2)

的方向导数的最小值.

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23. 设曲线

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = \frac{π^{2}}{4}

上从点

(\frac{π}{2}, 0)

到点

(0, \frac{π}{2})

上的一段, 计算曲线积分

I = \int_{L} \frac{e^{y} + e^{- y}}{2} \cos x d x + \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \sin x d y .

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24. 设数列

{x_{n}}, {a_{n}}, {b_{n}}

分别满足

x_{n} = {(1 + \sin \frac{1}{n})}^{n}, a_{n} = \frac{x_{2 n}}{x_{2 n - 1}}, b_{n} = \prod_{i = 1}^{n} a_{i}

.
(I) 求

lim_{n \to \infty} x_{n}

;
(II ) 证明:

lim_{n \to \infty} b_{n}

存在.

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25. 设

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (A + B x + C x^{2})}{x^{3}} = D

，求常数

A, B, C, D

.

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26. 设

f (x) = \arctan \frac{1 - x}{1 + x}

，求

f^{(2019)} (0)

.

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27. 设

f (x)

是

[a, b]

上连续可导的函数，

f (a) = f (b) = 0

.
证明:

\int_{a}^{b} | f (x) | d x \leq \frac{(b - a)^{2}}{4} max_{a \leq x \leq b} | f^{'} (x) | .

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28. 计算不定积分

\int \frac{x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 - x^{2})}^{2}} d x

.

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29. 计算积分

\int_{0}^{1} x^{m} (\ln x)^{n} d x

，其中

m, n

为自然数.

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