高等数学31-数学组卷-自助组卷

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高等数学31

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设函数

f (x, y)

在区域

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

上有二阶连续偏导数，且

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = e^{- (x^{2} + y^{2})} .

计算

\iint_{D} (x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}) d x d y

.

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2. 计算三重积分

I = ∭_{Ω} \frac{d V}{{(1 + x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2}}

，其中

Ω

为

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

.

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3. 设

f (x) = g (x) (\sqrt{x} - 1)

, 其中

g (x)

在点

x = 1

处连续且

g (1) = 2

, 求

f^{'} (1)

.

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4. 求函数

y = \sqrt{8 + x^{3}}

的导数和微分, 并利用微分计算

\sqrt{8 + (2.001)^{3}}

的近似值

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5. 求曲线

x^{4} + x^{2} y - y^{3} = 1

在点

(1, 1)

处的切线方程.

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6. 求函数

f (x) = x^{4} - 4 x^{3}

的单调区间和极值.

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7. 计算

\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x

.

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8. 计算

\int_{- \infty}^{0} x e^{x} d x

.

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9. 求抛物线

y = 3 - x^{2}

与直线

y = 2 x

及

y

轴在第一象限所围成的平面图形的面积

A

及该平面图形绕

y

轴旋转所成的旋转体的体积

V

.

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10. 已知函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续, 在

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 1

. 证明:
(1) 存在

x_{0} \in (0, 1)

, 使得

f (x_{0}) = 1 - x_{0}

;
(2) 存在两个不同的点

x_{1}, x_{2} \in (0, 1)

, 使得

f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 1

.

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11. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos x d x}{\ln (1 + x^{2})}

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12. 设

f (x) = e^{- x}

; 求

\int \frac{f^{'} (\ln x)}{x} d x

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13. 已知

y = (1 + x^{2}) \arctan x

, 求

y^{''}

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14. 计算

lim_{x \to 0} \frac{3 \sin x + x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1 + \cos x) \ln (1 + x)}

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15. 求

\int x^{2} \cos x d x

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16. 设抛物线

f (x) = a x^{2} + b x + c

过点

(0, 0)

与

(1, 2)

且

a < 0

, 确定

a, b, c

使得抛物线与

x

轴所围图形面积最小。

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17. 求微分方程

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = x e^{2 x}

的通解

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18. 设

b > a > 0

, 证明:

\frac{b - a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b - a}{a}

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19. 已知

\vec{a} = \vec{i}, \vec{b} = \vec{j} - 2 \vec{k}, \vec{c} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}

, 求一单位向量

\vec{m}

，使

\vec{m} ⊥ \vec{c}

，且

\vec{m}

与

\vec{a}, \vec{b}

共面。

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20. 设

f (x, y) = \sqrt[3]{x^{2} y}

, 问

f (x, y)

在

(0, 0)

点
( 1

)

是否连续?
( 2 ) 偏导数是否存在?
( 3 ) 是否可微?

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21. 设函数

y = y (x)

由方程组

{\begin{cases} y = f (x, t) \\ t = F (x, y) \end{cases}

所确定，求

\frac{d y}{d x}

( 假定隐函数定理条件满足)

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22. 设

z = u (x, y) e^{a x + b y}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = 0

, 试确定

a, b

使

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} + z = 0

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23. 求函数

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

在条件

a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z = 1 (a_{i} > 0, i = 1, 2, 3)

下的最小值。

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24. 计算三重积分

∭_{Ω} x^{3} y^{2} z d V ， Ω

为马鞍面

z = x y

与平面

y = x, x = 1, z = 0

所包围的空间区域。

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25. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{1}{2^{n}} + (- 2)^{n}] (x + 1)^{n}

的收敛域。

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26. 求二重积分

I = \iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 4 | d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 16}

。

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27. 计算曲面积分

\iint_{S} (2 x + z) d y d z + z d x d y

，其中

S

为有向曲面

z = x^{2} + y^{2} (0 \leq z \leq 1)

，其法向量与

z

轴正向的夹角为锐角。

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28. 已知

L

是第一象限中从

O (0, 0)

沿圆周

x^{2} + y^{2} = 2 x

到点

A (2, 0)

，再沿圆周

x^{2} + y^{2} = 4

到点

B (0, 2)

的曲线段，计算曲线积分

\int_{L} 3 x^{2} y d x + (x^{3} + x - 2 y) d y

。

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29. 将

f (x) = 1 - x^{2} (0 \leq x \leq π)

展开成余弦级数，并求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2}}

的和。

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