一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 上有二阶连续 偏导数，且
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} .
$$
计算 $\iint_D\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} V}{\left(1+x^2+y^2+z^2\right)^2}$ ，其中 $\Omega$ 为 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1$.
设 $f(x)=g(x)(\sqrt{x}-1)$, 其中 $g(x)$ 在点 $x=1$ 处连续且 $g(1)=2$, 求 $f^{\prime}(1)$.
求函数 $y=\sqrt{8+x^3}$ 的导数和微分, 并利用微分计算 $\sqrt{8+(2.001)^3}$ 的近似值
求曲线 $x^4+x^2 y-y^3=1$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.
计算 $\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-\infty}^0 x e^x \mathrm{~d} x$.
求抛物线 $y=3-x^2$ 与直线 $y=2 x$ 及 $y$ 轴在第一象限所围成的平面图形的面积 $A$ 及该平面图形绕 $y$ 轴旋转所成的旋转体的体积 $V$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $x_0 \in(0,1)$, 使得 $f\left(x_0\right)=1-x_0$;
(2) 存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right)=1$.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \cos x d x}{\ln \left(1+x^2\right)}$
设 $f(x)=e^{-x}$; 求 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x$
已知 $y=\left(1+x^2\right) \arctan x$, 求 $y^{\prime \prime}$
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$
设抛物线 $f(x)=a x^2+b x+c$ 过点 $(0,0)$ 与 $(1,2)$ 且 $a < 0$, 确定 $a, b, c$ 使得抛 物线与 $x$ 轴所围图形面积最小。
求微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=x e^{2 x}$ 的通解
设 $b>a>0$, 证明: $\frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
已知 $\vec{a}=\vec{i}, \vec{b}=\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{c}=2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}$, 求一单位向量 $\vec{m}$ ，使 $\vec{m} \perp \vec{c}$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面。
设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^2 y}$, 问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点
( 1$)$ 是否连续?
( 2 ) 偏导数是否存在?
( 3 ) 是否可微?
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=f(x, t) \\ t=F(x, y)\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}$ ( 假定隐函数定理条件满 足)
设 $z=u(x, y) e^{a x+b y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$, 试确定 $a, b$ 使 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}+z=0$
求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在条件 $a_1 x+a_2 y+a_3 z=1\left(a_i>0, i=1,2,3\right)$ 下的最小值。
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x^3 y^2 z d V ， \Omega$ 为马鞍面 $z=x y$ 与平面 $y=x, x=1, z=0$ 所包 围的空间区域。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2^n}+(-2)^n\right](x+1)^n$ 的收敛域。
求二重积分 $I=\iint_D\left|x^2+y^2-4\right| d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 。
计算曲面积分 $\iint_S(2 x+z) d y d z+z d x d y$ ，其中 $S$ 为有向曲面 $z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ，其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角。
已知 $L$ 是第一象限中从 $O(0,0)$ 沿圆周 $x^2+y^2=2 x$ 到点 $A(2,0)$ ，再沿圆周 $x^2+y^2=4$ 到点 $B(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $\int_L 3 x^2 y d x+\left(x^3+x-2 y\right) d y$ 。
将 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。