解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 上有二阶连续 偏导数，且
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} .
$$
计算 $\iint_D\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} V}{\left(1+x^2+y^2+z^2\right)^2}$ ，其中 $\Omega$ 为 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1$.
设 $f(x)=g(x)(\sqrt{x}-1)$, 其中 $g(x)$ 在点 $x=1$ 处连续且 $g(1)=2$, 求 $f^{\prime}(1)$.
求函数 $y=\sqrt{8+x^3}$ 的导数和微分, 并利用微分计算 $\sqrt{8+(2.001)^3}$ 的近似值
求曲线 $x^4+x^2 y-y^3=1$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.