$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$, 则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0)$, 且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x, y)=\int_0^{x y} \mathrm{e}^{x x^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$
设 $y=e^{f\left(\frac{1}{x}\right)}, f$ 为可微函数, 则 $d y=$
已知 $f^{\prime}(1)=8$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(1-x^2\right)-f(1)}{1-\cos x}=$
设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{cl}\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}) & \mathrm{x} \geq 0 \\ \operatorname{b \arctan} \frac{1}{\mathrm{x}} & \mathrm{x} < 0\end{array}\right.$ 是连续函数, 则 $\mathrm{b}=$
设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续,求 $\frac{d}{d x} \int_0^x t f\left(t^2-x^2\right) d t $
设 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\ln x}{x}$ ，则 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
已知 $f^{\prime}\left(x_0\right)=-2$, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+3 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}(1-x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\sin ^3 x\right) \mathrm{d} x=$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+a x^2\right)^{\dfrac{1}{3}}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a=$
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在第一象限中的切线（ ）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.
设 $a_n=\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$, 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{a_n}}-\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}\right)$ 的和
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ （ ）, 其中 $\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2, z \geq$ $0, R>0$ 且 $x, y, z \in \mathbb{R}$.
计算广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+|x|) \sqrt{|x(1-x)|}} \mathrm{d} x=$