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高等数学14

数学

一、填空题（共 18 题），请把答案直接填写在答题纸上

1.

lim_{x \to 0} [\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{\ln (1 + x)}] =

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2. 设

{\begin{matrix} x = \sqrt{t^{2} + 1} \\ y = \ln (t + \sqrt{t^{2} + 1}) \end{matrix}

, 则

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 1} =

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3. 若函数

f (x)

满足

f^{''} (x) + a f^{'} (x) + f (x) = 0 (a > 0)

, 且

f (0) = m, f^{'} (0) = n

, 则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

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4. 设函数

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{x x^{2}} d t

, 则

{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} |}_{(1, 1)} =

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5. 设

y = e^{f (\frac{1}{x})}, f

为可微函数, 则

d y =

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6. 已知

f^{'} (1) = 8

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (1 - x^{2}) - f (1)}{1 - \cos x} =

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7. 设

f (x) = {\begin{array}{cl} e^{x} (\sin x + \cos x) & x \geq 0 \\ b \arctan \frac{1}{x} & x < 0 \end{array}

是连续函数, 则

b =

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8. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续,求

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (t^{2} - x^{2}) d t

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9. 设

f (x)

的原函数为

\frac{\ln x}{x}

，则

\int f^{'} (x) d x =

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10. 已知

f^{'} (x_{0}) = - 2

, 则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 3 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =

.

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11. 已知函数

f (x) = {\begin{array}{lc} (1 - x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{array}

在

x = 0

处连续, 则

a =

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12.

\int_{- 1}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{3} x) d x =

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13. 当

x \to 0

时,

{(1 + a x^{2})}^{\frac{1}{3}} - 1

与

1 - \cos x

是等价无穷小, 则

a =

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14. 计算

\int x \sin x d x

.

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15. 求椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

在第一象限中的切线（　　）, 使它被两坐标轴所截的线段最短.

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16. 设

a_{n} = \int_{0}^{n π} x | \sin x | d x

, 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{a_{n}}} - \frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}})

的和

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17. 计算三重积分

∭_{Ω} z \cos (x^{2} + y^{2}) d x d y d z =

（　　）, 其中

Ω

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq

0, R > 0

且

x, y, z \in R

.

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18. 计算广义积分

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + | x |) \sqrt{| x (1 - x) |}} d x =

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他的试卷

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