设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{1-\sqrt{\cos 2 x}}=$
极坐标曲线 $r=1+\cos \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 对应的点处的法线方程为
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解为
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
设 $\Sigma$ 为由曲线 $\left\{\begin{array}{l}3 x^2+2 y^2=33, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面, $\Pi$ 为曲面 $\Sigma$ 在点 $M(1,3,2)$ 处的切平面, 则坐标原点到平面 $\Pi$ 的距离为
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}$.
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{8 n^2+2 n-1}$ 在收敛区间内的和函数.
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}$ $(z \geqslant 0)$ 的上侧.
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3, \\ y=\mathrm{e}^y \sin t+1\end{array}\right.$ 所确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在 $t=0$ 对应的点 处的曲率 $k=$
已知方程 $\mathrm{e}^x=k x$ 有且仅有一个实根, 则 $k$ 的取值范围为
在宽为 $2 R$ 的河面上, 任意一点处的流速与该点到两岸距离之积成正比. 已知河道中心线处水 的流速为 $v_0$, 则河面上距河道中心线 $r$ 处河水的流速 $v(r)$ 在区间 $[-R, R]$ 上的平均值 $\bar{v}=$
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
已知方程 $\mathrm{e}^x=k x$ 有且仅有一个实根, 则 $k$ 的取值范围为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+\cos ^3 x-1}{(x+\sin x)^2}=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{2}{\sqrt{n^2+n}}\right)=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2+3 x-10}{x-2} & x \neq 2 \\ a & x=2\end{array}\right.$ 在点 $x=2$ 处连续, 则 $a=$
函数 $f(x)=\frac{|x|}{\sin x}$ 的间断点为
函数 $y=2 x^2-\ln x$ 的单调减区间为
设函数 $y=\ln \tan \sqrt{x}$, 则 $d y=$
椭圆曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 相应的点处的切线方程为
设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}y^2=x, \\ z=3(y-1),\end{array}\right.$ 则 $L$ 在 $y=1$ 对应点处的切线方程为
双纽线 $r^2=a^2 \cos 2 \theta(a>0)$ 绕极轴旋转所成旋转曲面的面积为