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高等数学13

数学

一、填空题（共 29 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设函数

f (x)

满足

f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (1 - \cos x)}{1 - \sqrt{\cos 2 x}} =

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2. 极坐标曲线

r = 1 + \cos θ

在

θ = \frac{π}{3}

对应的点处的法线方程为

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3. 微分方程

y^{'''} - 3 y^{'} + 2 y = 0

的通解为

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4. 设

f (x) = \sqrt[3]{x \sin^{2} x} (- π < x < π)

, 则

f^{'} (x) =

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5. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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6.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}}) =

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7. 设

Σ

为由曲线

{\begin{cases} 3 x^{2} + 2 y^{2} = 33, \\ z = 0 \end{cases}

绕

y

轴旋转一周所形成的旋转曲面,

Π

为曲面

Σ

在点

M (1, 3, 2)

处的切平面, 则坐标原点到平面

Π

的距离为

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8. 设

y = y (x)

是由方程

y^{3} + x y + x^{2} - 2 x + 1 = 0

在点

(1, 0)

的某邻域内确定的可微函数, 求

lim_{x \to 1} \frac{\int_{1}^{x} y (t) d t}{(x - 1)^{3}}

.

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9. 设

f (x)

二阶可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 0

, 若

g (x, y) = \int_{0}^{y} f (x t) d t

满足方程

\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} - x y g (x, y) = x y^{2} \sin x y,

求

g (x, y)

.

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10. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{8 n^{2} + 2 n - 1}

在收敛区间内的和函数.

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11. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

, 其中

Σ

是曲面

1 - \frac{z}{7} = \frac{(x - 2)^{2}}{25} + \frac{(y - 1)^{2}}{16}

(z ⩾ 0)

的上侧.

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12. 设

f (x) = \sqrt[3]{x \sin^{2} x} (- π < x < π)

, 则

f^{'} (x) =

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13. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin x t}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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14. 设

y = y (x)

由

{\begin{cases} x = 3 t^{2} + 2 t + 3, \\ y = e^{y} \sin t + 1 \end{cases}

所确定, 则曲线

y = y (x)

在

t = 0

对应的点处的曲率

k =

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15. 已知方程

e^{x} = k x

有且仅有一个实根, 则

k

的取值范围为

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16. 在宽为

2 R

的河面上, 任意一点处的流速与该点到两岸距离之积成正比. 已知河道中心线处水的流速为

v_{0}

, 则河面上距河道中心线

r

处河水的流速

v (r)

在区间

[- R, R]

上的平均值

\bar{v} =

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17. 设

f (x) = \sqrt[3]{x \sin^{2} x} (- π < x < π)

, 则

f^{'} (x) =

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18. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin x t}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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19. 已知方程

e^{x} = k x

有且仅有一个实根, 则

k

的取值范围为

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20.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}}) =

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21. 极限

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + \cos^{3} x - 1}{(x + \sin x)^{2}} =

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22. 极限

lim_{n \to \infty} (\frac{2}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{n^{2} + n}}) =

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23. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{x - 2} & x \neq 2 \\ a & x = 2 \end{array}

在点

x = 2

处连续, 则

a =

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24. 函数

f (x) = \frac{| x |}{\sin x}

的间断点为

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25. 函数

y = 2 x^{2} - \ln x

的单调减区间为

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26. 设函数

y = \ln \tan \sqrt{x}

, 则

d y =

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27. 椭圆曲线

{\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}

在

t = \frac{π}{4}

相应的点处的切线方程为

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28. 设曲线

L : {\begin{cases} y^{2} = x, \\ z = 3 (y - 1), \end{cases}

则

L

在

y = 1

对应点处的切线方程为

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29. 双纽线

r^{2} = a^{2} \cos 2 θ (a > 0)

绕极轴旋转所成旋转曲面的面积为

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他的试卷

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