已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{rr}e^x, & x \geq 0, \\ 1+x^2, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int_9^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
求极限 $ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}\right)}{n}\right)^{\frac{1}{x}} $
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^2-\cos x}{\sin ^2 x}$.
计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{2 n+1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $n$ 为正整数.
设 $z=\frac{1}{x} f\left(x^2 y\right)+x y g(x+y)$ ，其中 $f, g$ 具有二阶连续导数， 计算 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设 $y(x)=\int_x^{4 x} \sin \left((x-t)^2\right) \mathrm{d} t$ ，求 $y^{\prime}(x)$.
设曲线 $\gamma$ 由 $y^2=\frac{1}{3} x^2(1-4 x), y \geq 0, x \in\left[0, \frac{1}{4}\right]$ 所定义，计 算 $\gamma$ 的弧长
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$
方程 $\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}=0$ 实根的个数为
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
设函数 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,4]$, 则函数 $f\left(x^2\right)$ 的定义域是
极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x-1}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$
曲线 $y=\frac{x^2}{9 x^2-1}$ 的水平渐近线方程为
若 $x^2-a \sin x$ 和 $x$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的等价无穷小, 则 $a=$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=9$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{3 x}=$
曲线 $y=\arctan \frac{1}{x}$ 在点 $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ 的切线方程为
函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ 的导数 $f^{\prime}(x)=$.
设 $\left\{\begin{array}{c}x=t e^t, \\ y=\sin 2 t,\end{array}\right.$ 则导数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$
若 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) \cdots(x+2021)$, 则 $f^{\prime}(0)=$
计算以下极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x+1}\right)^{x+5}$
由方程 $y=\cos (x y)-x$ 所确定的隐函数为 $y=f(x)$, 求导数 $f^{\prime}(x)$.
讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, \quad x=0 .\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 且 $\boldsymbol{a b} \neq 0$, 证明: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\boldsymbol{a}\right)-f\left(x_0-b \boldsymbol{h}\right)}{\boldsymbol{h}}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$.
设 $a>0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.