高等数学06-数学组卷-自助组卷

科数题库试卷组卷竞赛教材学习 VIP

微信扫码登录或手机号登录考研数学版

导出试卷打印试卷试卷白板

高等数学06

数学

一、填空题（共 28 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 已知常数

a > 0, b c \neq 0

, 使得

lim_{x \to + \infty} [x^{a} \ln (1 + \frac{b}{x}) - x] = c

, 求

a, b, c

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

2. 求

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t}

, 其中

f (x)

连续且

f (0) \neq 0

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

3. 设

f (x)

是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数

t

，有

\int_{t}^{t + 2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x

；
(2) 证明

G (x) = \int_{0}^{x} [2 f (t) - \int_{t}^{t + 2} f (s) d s] d t

是周期为 2 的周期函数.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

4. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

5. 设

f (x)

是区间

[0, \frac{π}{4}]

上的单调、可导函数，且满足

\int_{0}^{f (x)} f^{- 1} (t) d t = \int_{0}^{x} t \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} d t

其中

f^{- 1}

是

f

的反函数，求

f (x)

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

6. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足

f (x) = f (x - π) + \sin x ，

且

f (x) = x, x \in [0, π)

，计算

I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x

.

点赞(1) 错题本(0) 加入试卷

7. 设函数

f (x)

可导，且

f (0) = 0

，

F (x) = \int_{0}^{x} t^{n - 1} f (x^{n} - t^{n}) d t,

求

lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{x^{2 n}}

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

8. 设函数

f (x)

连续，

g (x) = \int_{0}^{1} f (x t) d t

，且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = A

，

A

为常数. 求

g^{'} (x)

并讨论

g^{'} (x)

在

x = 0

处的连续性.

点赞(1) 错题本(0) 加入试卷

9. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续，

x \in (a, b)

，证明:

lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f (t + h) - f (t)] d t = f (x) - f (a) .

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

10. 求

lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x} \int_{x}^{x + 1} \frac{\sin t}{\sqrt{t + \cos t}} d t

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

11. 设

f (x)

为定义在

(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)

上的分段连续函数, 且

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1, lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1

, 则

F (x) = \int_{0}^{x} (\sin x - \sin t) f (t) d t

在

x = 0

处可导的最高阶数为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

12.

\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{1} \frac{\arctan x}{x^{5}} d x =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

13. 设函数

f (x, y)

连续, 区域

D

是由曲线

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 x y

在第一象限所围成的部分, 则

\iint_{D} f (x, y) d x d y

在极坐标系下先

θ

, 后

r

的二次积分为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

14. 设两曲面

S_{1} : 2 π x^{2} - 2 π y^{2} + 16 z^{2} = π^{2}, S_{2} : z = \arctan \frac{y}{x}

在第一卦限内的点

P

处有公共切平面, 则此切平面的方程为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

15. 函数

f (x) = \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x (x + 1) (x - 2)}

的无穷间断点为 ________ ,

lim_{x \to 0} f (x) =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

16. 曲线

y = {(1 + \frac{1}{x})}^{x - 1}

有水平渐近线 ________ 和铅直渐近线 ________

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

17. 设函数

y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = t^{3} + 3 t + 1 \\ y = t^{3} - 3 t + 1 \end{cases}

确定, 则

\frac{d y}{d x} =

________

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

18. 设

x + \cos 2 x

为

f (x)

的原函数, 则

\int_{0}^{π} f (x) d x =

________ ,

f^{(2015)} (0) =

________

点赞(1) 错题本(0) 加入试卷

19. 设

f (x) = \int_{- 1}^{x} \frac{t^{2} + t}{t^{6} + 1} d t

, 则

f (1) =

________ ,

f^{'} (1) =

________

点赞(1) 错题本(0) 加入试卷

20. 函数

f (x) = \frac{x}{\tan x}, x = k π

和

x = k π + \frac{π}{2}

(

k

是整数

)

是间断点, 其中无穷间断点是 ________

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

21.

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 2 a}{x - a})}^{x} =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

22. 已知

x = a (t - \sin t); y = a (1 - \cos t)

;

\frac{d y}{d x} =

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

23. 设

\int f (x) d x = \sin 2 x + c

, 则

f (x) =

点赞(2) 错题本(0) 加入试卷

24. 广义积分

\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x^{2} + x - 2} =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

25. 求

\int_{- 1}^{1} {(2 x + \sqrt{1 - x^{2}})}^{2} d x

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

26.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{x^{2}}{x^{6} + 1} d x =

点赞(1) 错题本(0) 加入试卷

27. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

28.

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{n! + 1}{(n + 2)!} =

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

高等数学05 高等数学04 高等数学03 高等数学02 高等数学01

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与