高等数学02-数学组卷-自助组卷

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高等数学02

数学

一、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} e^{- n x}

的收敛域为

(a, + \infty)

, 则

a =

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2. 设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} y = 2 + \sqrt{x}

满足条件

y (1) = 3

的解, 求

y (x)

的渐进线.

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3. 已知

Σ

为曲面

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)

的上侧,

L

是

Σ

的边界曲线, 其正向与与

Σ

的正法向量满足右手法则, 计算积分曲线

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4. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有二阶连续导数, 证明:

f^{''} (x) \geq 0

的充要条件是: 对不同实数

a

,

b, f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

.

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5.

lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x}) =

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6. 若

f (x)

可导,

y = f (e^{x})

, 则

d y =

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7. 函数

f (x) = \frac{1}{1 - x}

, 则

f^{(n)} (0) =

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8. 曲线

y = x^{2} - 1

在其顶点处的曲率

K

是

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9.

\int \tan^{2} x d x

;

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10.

\int_{- 1}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} + \frac{x^{2} \sin x}{1 + x^{2}}) d x =

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11. 设

r = (x, y, z), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 函数

f (x)

可微, 曲线

L

是一条有限的、不经过坐标原点的单侧光滑曲面

S

的边界曲线,

L

的正向与曲面

S

的正向符合右手法则, 则

\oint_{L.} \frac{x}{r} f (r) d x + \frac{y}{r} f (r) d y + \frac{z}{r} f (r) d z =

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12. 设函数

f (x, y)

可微. 若已知

f

在点

P (x_{0}, y_{0})

处沿

l_{1} = i - j

和

l_{2} = i + j

的方向导数分别为

\frac{\partial f (P)}{\partial l_{1}} = m_{1}

和

\frac{\partial f (P)}{\partial l_{2}} = m_{2}

, 且

m_{1}^{2} + m_{2}^{2} \neq 0

, 则

f (x, y)

在点

P

处变化最快的方向是

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13. 设

f (x)

二阶可导,

f (1) = 1, g (x)

为其反函数,

g^{'} (1) = g^{''} (1) = a \neq 0

, 则

{[\frac{d^{2}}{d x^{2}} \int_{0}^{f (x)} tg (t) d t] |}_{x = 1} =

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14. 已知方程

y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{2} (x) y = f (x)

有三个解:

y_{1} = 1, y_{2} = x^{2} + 1

和

y_{3} = e^{2 x} + 1

, 则此方程右端的函数项

f (x) =

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15. 如果

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - x - 2} = 2

, 则常数

a =

,

b =

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16. 设

y = e^{\sqrt{\cos x}}

, 则

d y =

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他的试卷

高等数学01 数列32 数列31 数列30 数列29

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