高等数学01-数学组卷-自助组卷

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高等数学01

数学

一、填空题（共 29 题），请把答案直接填写在答题纸上

1.

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + \frac{i}{n}} =

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2. 设

f (x)

可表示为

f (x) = 2 x + 2 \int_{0}^{1} f (x) d x

, 则

f (x) =

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3. 微分方程

x d y + 2 y d x = 0

, 满足

y_{∣ x = 2} = 1

的特解是 ________ .

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4. 函数

f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}

的无穷间断点的个数为

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5. 曲线

y = \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

的渐近线条数为

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6. 曲线

{\begin{cases} x = \int_{0}^{1 - t} e^{- u^{2}} d u \\ y = t^{2} \ln (2 - t^{2}) \end{cases}

在点

(0, 0)

处的切线方程为

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7. 设

f (x)

连续, 则

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t =

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8. 若

\int_{0}^{x} f (t) d t = x e^{- x}

, 则

\int_{1}^{+ \infty} \frac{f (\ln x)}{x} d x =

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9. 曲线

y = (x - 5) x^{\frac{2}{3}}

的拐点坐标为 ________ .

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10. 设曲线

y = f (x)

过点

(0, 0)

, 且当

x

在点

x = 0

处取得增量

Δ x

时, 相应函数的增量为

Δ y =

3 Δ x + o (Δ x)

, 则

lim_{n \to \infty} n f (\frac{2}{n}) =

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11. 设

y = \sin^{2} x

, 则

y^{(8)} (0) =

________ .

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12. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x}) (x > 0)

的渐近线方程为

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13. 曲线

y = \ln \cos x (0 \leq x \leq \frac{π}{4})

的弧长为

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14. 已知可微函数

f (x, y)

满足

f (t x, t y) = t f (x, y), t > 0

, 且

f_{1} (1, - 2) = 4

, 则曲面

z =

f (x, y)

在点

P_{0} (1, - 2, 2)

处的切平面方程为

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15. 微分方程

\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 2 y^{2} \ln x

满足初始条件

{y |}_{x = e} = \frac{1}{e}

的特解为

y =

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16.

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n)!} =

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17. 设

y^{'} = f (x, y)

是一条简单封闭曲线

L

(取正向),

f (x, y) \neq 0

, 其所围区域记为

D, D

的面积为

a, a > 0

, 则

I = \oint_{L} x f (x, y) d x - \frac{y}{f (x, y)} d y =

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18. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln (1 + t)}{t} d t (x > 0)

, 则

f (2) + f (\frac{1}{2}) =

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19.

lim_{n \to \infty} n [e {(1 + \frac{1}{n})}^{- n} - 1] =

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20.

\int_{0}^{1} \ln (1 + \sqrt{x}) d x =

________ .

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21. 由曲线

x y = 3, x + y = 4

围成的平面区域绕

x

轴旋转一周所成旋转体体积为

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22. 设

z = \sin x + \sin (x y) + \int_{0}^{x + y} e^{t^{2}} d t

, 则

{d z |}_{(0, 0)} =

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23. 已知函数

f (x)

是周期为

π

的奇函数, 且当

x \in [0, \frac{π}{2}]

时,

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sin^{n} x + {(\frac{2 x}{π})}^{n}}

,则

\int_{0}^{π} f (x) d x =

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24. 设

f (x) = a \int_{0}^{\sin x} (e^{t^{2}} - 1) d t, x^{b} \ln (1 + x)

是

g (x)

的一个原函数, 若

x \to 0

时,

f (x)

与

g (x)

是等价无穷小, 则

a + b =

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25.

lim_{x \to 0} \frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - (1 + x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}

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26.

lim_{x \to 0} \frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - (1 + x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}

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27. 已知函数

f (x)

在

x = 0

的某邻域内可导, 且

lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x^{2}} + \frac{f (x)}{x}) = 2

, 试求

f (0), f^{'} (0), lim_{x \to 0} \frac{x}{f (x) + e^{x}}

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28. 已知极限

lim_{x \to 0} [a x \ln (1 + e^{\frac{1}{x}}) - arccot \frac{1}{x}]

存在, 则

a =

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29. 当

x \to \infty

时,

{[\frac{e}{{(1 + \frac{1}{x})}^{x}}]}^{x} - \sqrt{e}

与

c \cdot x^{k}

是等价无穷小, 求

c

与

k

的值分别为 ________ .

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他的试卷

数列32 数列31 数列30 数列29 统计与概率28

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