$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i}{n}}=$
设 $f(x)$ 可表示为 $f(x)=2 x+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x)=$
微分方程 $x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0$, 满足 $y_{\mid x=2}=1$ 的特解是 ________ .
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
曲线 $y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 的渐近线条数为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^{1-t} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u \\ y=t^2 \ln \left(2-t^2\right)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为
设 $f(x)$ 连续, 则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
若 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{-x}$, 则 $\int_1^{+\infty} \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=$
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 ________ .
设曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$, 且当 $x$ 在点 $x=0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时, 相应函数的增量为 $\Delta y=$ $3 \Delta x+o(\Delta x)$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)=$
设 $y=\sin ^2x$, 则 $y^{(8)}(0)=$ ________ .
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的渐近线方程为
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长为
已知可微函数 $f(x, y)$ 满足 $f(t x, t y)=t f(x, y), t>0$, 且 $f_1(1,-2)=4$, 则曲面 $z=$ $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,-2,2)$ 处的切平面方程为
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=2 y^2 \ln x$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的特解为 $y=$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n) !}=$
设 $y^{\prime}=f(x, y)$ 是一条简单封闭曲线 $L$ (取正向), $f(x, y) \neq 0$, 其所围区域记为 $D, D$ 的面积为 $a, a>0$, 则 $I=\oint_L x f(x, y) \mathrm{d} x-\frac{y}{f(x, y)} \mathrm{d} y=$
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t(x>0)$, 则 $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]=$
$\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x=$ ________ .
由曲线 $x y=3, x+y=4$ 围成的平面区域绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体体积为
设 $z=\sin x+\sin (x y)+\int_0^{x+y} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
已知函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数, 且当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\left(\frac{2 x}{\pi}\right)^n}$,则 $\int_0^\pi f(x) d x=$
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^b \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 若 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则 $a+b=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^2}+\frac{f(x)}{x}\right)=2$, 试求 $f(0), f^{\prime}(0), \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{f(x)+\mathrm{e}^x}$
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=$
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x-\sqrt{e}$ 与 $c \cdot x^k$ 是等价无穷小, 求 $c$ 与 $k$ 的值分别为 ________ .