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高等数学08

数学

一、填空题（共 29 题），请把答案直接填写在答题纸上

1.

I = lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} {\ln (1 + 2 x - x^{2}) - 6 [(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1]} =

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2.

lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - e^{2 - 2 \cos x}}{e^{x^{4}} - 1} =

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3.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin^{2} x + e^{x}) - x}{\ln (e^{2 x} - x^{2}) - 2 x} =

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4.

lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - e^{x^{2}}) \sin x^{2}}{\frac{x^{2}}{2} + 1 - \sqrt{1 + x^{2}}} =

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5.

I = lim_{x \to + \infty} (\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}} - \sqrt[6]{x^{6} - x^{5}}) =

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6.

I = lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x}) (1 - \sqrt[3]{\cos x}) \dots (1 - \sqrt[n]{\cos x})}{(1 - \cos x)^{n - 1}} =

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7. 设

lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - x + 1} - a x - b) = 0

, 则

a =

,

b =

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8. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln [1 + \frac{f (x)}{\sin x}]}{a^{x} - 1} = \frac{1}{2} (a > 0, a \neq 1)

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x^{2}}

.

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9. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

, 则

lim_{n \to \infty} n a_{n} =

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10.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{\sin x} + \sqrt[3]{1 - \cos x}) - \sin x}{\arctan (4 \sqrt[3]{1 - \cos x})} =

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11. 设隐函数

y = y (x)

由方程

y^{2} (x - y) = x^{2}

所确定，则

\int \frac{d x}{y^{2}} =

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12. 定积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{e^{x} (1 + \sin x)}{1 + \cos x} d x =

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13. 已知

d u (x, y) = \frac{y d x - x d y}{3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}}

，则

u (x, y) =

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14. 设

a, b, c, μ > 0

，曲面

x y z = μ

与曲面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

相切，则

μ =

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15.

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x e^{x^{4}} + \cos x) d x =

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16.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x^{2}} d x =

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17. 设

z = x^{y} + y^{x}

, 则函数在

(1, 1)

处的全微分为

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18.

D

是由

y = e^{x}, x = 0, x = 1, y = 0

所围成区域, 则

\iint_{D} d σ =

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19. 当

a

满足 ________ 时,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{1 - 2 a}}

条件收敛.

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20. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 1)^{n}}{n \cdot 4^{n}}

的收敛域为

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21. 交换积分次序后

\int_{0}^{1} d y \int_{- \sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f (x, y) d x =

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22. 微分方程

\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = - 1

的通解为

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23.

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\cos^{2} x + \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t) \sin^{2} x d x =

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24.

y = (x^{2} - 5 x + 6) | x^{3} - 3 x^{2} + 2 x |

的不可导点的个数为 ________ 个

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25. 设

Ω

由

0 ⩽ z ⩽ 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}

所确定, 则其形心坐标是

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26. 已知

\frac{(x + a y) d x + y d y}{(x + y)^{2}}

是全微分表达方式, 则

a =

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27. 极限

lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{x - \sin x} =

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28. 设

a > 0

, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{3}}{e^{a x}} d x =

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29. 点

M_{0} (2, 2, 2)

关于直线

L : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 4}{2} = z - 3

的对称点

M_{1}

的坐标为

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