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高等数学12

数学

一、填空题（共 29 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

Σ

为

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (z ⩾ 0), l, m, n

为

Σ

上任一点处的外法线的方向余弦, 则

I = \iint_{Σ} z (l x + m y + n z) d S =

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2. 设向量场

A (x, y, z) = x y i - y z j + z x k

, 则

div [rot A (x, y, z)] =

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3. 设

f (x, y) = {\begin{cases} e^{x^{2} + y^{2}} \frac{\sin \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & x^{2} + y^{2} \neq 0, \\ 1, & x^{2} + y^{2} = 0, x^{2} + y^{2} ⩽ t^{2}, \end{cases}

则

lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{π t^{2}} \iint_{D} f (x, y) d x d y =

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4. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x + e^{n x}}{1 + e^{n x}}

, 则

f (x - 1)

的间断点为

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5. 设曲线的极坐标方程为

r = \frac{1}{3 θ - π}

, 则该曲线的斜渐近线方程为

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6. 设

z = z (x, y)

由方程组

{\begin{cases} x = (t + 1) \cos z, \\ y = t \sin z \end{cases}

确定,

t = t (x, y)

, 则

\frac{\partial z}{\partial x} =

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7. 设曲线

y = \frac{x}{\sqrt{1 + n x^{2}}}

(

n

为正整数) 与

x = 1

及

x

轴所围区域绕

x

轴旋转一周所得体积为

V_{n}

, 则

lim_{n \to \infty} n V_{n} =

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8. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x^{3}) + x f (x)}{x^{6}} = 3

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 2 x^{2}}{x^{5}} =

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9.

f (x, y) = e^{2 x} (x + 2 y + y^{2})

的极值为

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10. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 1}{x^{2} + y^{2}} = 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 h, 0) - f (0, h)}{h} =

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11. 设

φ (u)

为连续函数, 且

\int_{y}^{x} φ (t - x - y) d t = x^{2} + y^{2} + z

, 则

y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} =

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12. 设空间曲线

L

的方程为

{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 1 \\ x + 2 y + z = 1 \end{cases}

, 从

z

轴正向看是顺时针方向, 则

\oint_{L} \frac{- y d x + x d y + z (x^{2} + 4 y^{2}) d z}{x^{2} + 4 y^{2}} =

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13. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 则二重积分

I = \iint \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x + y} d x d y =

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14. 设函数

f (x) = \frac{(x + 1)^{n}}{e^{x^{2}}}

, 则

f^{(n)} (- 1) =

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15. 设

f (u)

为可导函数, 曲线

y = f (e^{x})

过点

(1, 2)

, 且它在点

(1, 2)

处的切线过点

(0, 0)

, 那么函数

f (u)

在

u = e

处, 当

u

取得增量

Δ u = 0.01

时, 相应的函数值增量的线性主部是

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16. 设

α

为实数, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{(1 + x^{2}) (1 + x^{a})} =

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17. 曲线

y = \int_{0}^{x} \tan t d t (0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{3})

的弧长

s =

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18. 设二元函数

z = z (x, y)

有二阶连续偏导数, 且满足

6 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 1,

令变量

{\begin{cases} u = x - 2 y \\ v = x + 3 y \end{cases}

, 那么

\frac{\partial^{2} z}{\partial u \partial v} =

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19.

lim_{\begin{matrix} x \to 2 \\ y \to + \infty \end{matrix}} {(\cos \frac{x^{2}}{y})}^{\frac{y^{2} + x}{x^{3}}} =

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20. 设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续可微, 且

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3, \int_{0}^{1} x f (x) d x = 3,

则积分

\int_{0}^{1} x (x - 1) [3 - f^{'} (x)] d x =

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21. 差分方程

y_{x + 1} - 2 y_{x} = x 2^{x}

的通解为

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22. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 则二重积分

I = \iint_{D} \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x + y} d x d y =

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23. 求极限

lim_{x \to + \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x}{n^{2} + x^{2}}

.

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24. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续,在开区间

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 1

. 若三个正数

a, b, c

满足

a + b + c = 1

, 证明: 存在三个互不相等的数

ξ_{i} \in (0, 1), i = 1, 2, 3

, 使得

\frac{a}{f^{'} (ξ_{1})} + \frac{b}{f^{'} (ξ_{2})} + \frac{c}{f^{'} (ξ_{3})} = 1 .

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25. 已知平面上的函数

f (x, y)

满足

\frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = 2 (y - 2)

, 且

f (x, x) = (x - 2)^{2} + (x - 2) \ln x,

求函数

f (x, y)

的解析式, 并求曲线

f (x, y) = 0

绕直线

y = 2

旋转一周所形成的旋转体的体积.

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26. 设函数

f (u)

在区间

(- \infty, + \infty)

上具有二阶连续导数, 且

z = f (e^{x} \cos y)

满足

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = e^{2 x} (z + e^{x} \cos y) .

(I) 验证:

f^{''} (u) - f (u) = u

;
(II) 若

f (0) = f^{'} (0) = 1

, 求出函数

f (u)

的表达式.

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27.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \dots + \frac{n - 1}{n^{2}}) =

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28. 若

f (x)

连续，且

f (0) = 2

，又函数

F (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}

连续，则

a =

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29. 若

f (x)

有连续导数，且

\int_{0}^{π} f (x) \sin x d x = k, f (π) = - 2, f (0) = 5,

则

\int_{0}^{π} f^{'} (x) \cos x d x =

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