单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
集合 $A=\{x \mid x < -1$ 或 $x \geq 3\}, B=\{x \mid a x+1 \leq 0\}$, 若 $B \subseteq A$, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[-\frac{1}{3}, 1\right)$
$\text{B.}$ $(-\infty,-1) \mathrm{U}[0,+\infty)$
$\text{C.}$ $\left[-\frac{1}{3}, 1\right]$
$\text{D.}$ $\left[-\frac{1}{3}, 0\right) \mathrm{U}(0,1)$
设数集 $M$ 同时满足条件:(1) $M$ 中不含元素-1, 0, 1；(2)若 $a \in M$, 则 $\frac{1+a}{1-a} \in M$. 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 集合 $M$ 中至多有 2 个元素
$\text{B.}$ 集合 $M$ 中至多有 3 个元素
$\text{C.}$ 集合 $M$ 中至少有 4 个元素
$\text{D.}$ 集合 $M$ 中有无穷多个元素
已知集合 $A=\{x \mid 2 x-9 < 0\}, B=\left\{x \mid y=\frac{\ln (x-1)}{x-3}\right\}$, 则 $A$ I $B=$
$\text{A.}$ $(1,3) \mathrm{U}\left(3, \frac{9}{2}\right)$
$\text{B.}$ $[1,3) \mathrm{U}\left(3, \frac{9}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(1, \frac{9}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left[1, \frac{9}{2}\right)$
已知集合 $A=\left\{x \mid x=\frac{1}{3}(2 n+1), n \in \mathbf{Z}\right\}, B=\left\{x \mid x=\frac{4}{3} n-1, n \in \mathbf{Z}\right\}$, 则
$\text{A.}$ $A$ I $B=A$
$\text{B.}$ $A$ I $B=\varnothing$
$\text{C.}$ $A \mathrm{U} B=A$
$\text{D.}$ $A \mathrm{U} B=\mathbf{Z}$
设全集 $U=\mathbf{R}, A=\{x \mid x \leq 1\}, B=\left\{x \mid x^2-x-2 < 0\right\}$, 则图中阴影部分对应的集合为
$\text{A.}$ $\{x \mid x \geq 1\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 1 \leq x < 2\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid x>1\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 1 < x < 2\}$
下列命题中真命题有
(1) $p: \forall x \in \mathbf{R}, \quad x^2-x+\frac{1}{4} \geq 0$
(2) $q$ : “ $a>1, \quad b>1$ ”是“ $a b>1 ”$ 的充分不必要条件
(3) $r: \quad \exists x \in \mathbf{R}, \quad x^2+2 x+2 \leq 0$
(4) $s$ : 若 $a < 0$, 则 $a+\frac{1}{a} \leq-2$
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4个
已知实数 $x, y$, 则 “ $x^2+y^2 \leq 2$ ” 是 “ $x+y \leq 2 \sqrt{2}$ ” 的
$\text{A.}$ 必要不充分条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
不等式 $x(x-2) < 0$ 成立的一个充分不必要条件是
$\text{A.}$ $x \in(0,2]$
$\text{B.}$ $x \in(0,2)$
$\text{C.}$ $x \in(0,1)$
$\text{D.}$ $x \in(-\infty, 0]$
已知命题 $p: \exists x \in \mathbf{R}, \sin x < 1$; 命题 $q: \forall x \in \mathbf{R}, \mathrm{e}^{|x|} \geq 1$, 则下列命题中为真命题的是
$\text{A.}$ $p \wedge q$
$\text{B.}$ $\neg p \wedge q$
$\text{C.}$ $p \wedge \neg q$
$\text{D.}$ $\neg(p \vee q)$
已知命题 $p$ : 对任意的 $x, y, z \in \mathbf{N}^*, x^3+y^3 \neq z^3$, 则
$\text{A.}$ $\neg p$ : 对任意的 $x, y, z \in \mathbf{N}^*, x^3+y^3=z^3$
$\text{B.}$ $\neg p$ : 存在 $x_0, y_0, z_0 \in \mathbf{N}^*, x_0^3+y_0^3=z_0^3$
$\text{C.}$ $\neg p$ : 存在 $x_0, y_0, z_0 \in \mathbf{N}^*, x_0^3+y_0^3 \neq z_0^3$
$\text{D.}$ $\neg p$ : 不存在 $x_0, y_0, z_0 \in \mathbf{N}^*, x_0^3+y_0^3=z_0^3$
若命题 $p: \exists x \in[-3,3], x^2+2 x+1 \leq 0$, 则命题 $p$ 的否定是
$\text{A.}$ $\forall x \in[-3,3], x^2+2 x+1>0$
$\text{B.}$ $\forall x \in(-\infty,-3) \mathrm{U}(3,+\infty), x^2+2 x+1>0$
$\text{C.}$ $\exists x \in(-\infty,-3) \mathrm{U}(3,+\infty), x^2+2 x+1 \leq 0$
$\text{D.}$ $\exists x \in[-3,3], x^2+2 x+1 < 0$
命题“ $\forall x>0, x+\frac{1}{x} \geq 2$ ”的否定是
$\text{A.}$ $\forall x \leq 0, x+\frac{1}{x} < 2$
$\text{B.}$ $\forall x \leq 0, x+\frac{1}{x} \geq 2$
$\text{C.}$ $\exists x>0, x+\frac{1}{x} < 2$
$\text{D.}$ $\exists x>0, x+\frac{1}{x} \geq 2$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设集合 $A=\{x+-3 \leq x \leq 2\}, B=\{x \downarrow k-1 \leq x \leq 2 k+1\}$, 且 $A \supseteq B$, 则实数 $k$ 的取值范围是
设 $p: \ln (2 x-1) \leq 0, q:(x-a)[x-(a+1)] \leq 0$, 若 $q$ 是 $p$ 的必要不充分条件, 则实数 $a$ 的取值范围是
命题“有些负数满足不等式 $(1+x)(1-9 x)>0$ ”用“ $\exists$ ”或“ $\forall$ ”可表述为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知集合 $A=\{2,6\}$.
(1) 若集合 $B=\left\{a+1, a^2-23\right\}$, 且 $A=B$, 求实数 $a$ 的值;
(2) 若集合 $C=\left\{x \mid a x^2-x+6=0\right\}$, 且 $A$ 与 $C$ 有包含关系, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知集合 $A=\left\{x \mid 3 \leq 3^x \leq 27\right\}, B=\left\{x \mid \log _2 x>1\right\}$.
(1)分别求 $A \cap B,\left(\mathrm{C}_{\mathrm{R}} B\right) \cup A$;
(2)已知集合 $C=\{x \mid 1 < x < a\}$, 若 $C \subseteq A$, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知 $p: \exists x \in \mathrm{R}$, 使 $m x^2-4 x+2=0$ 为假命题.
(1) 求实数 $m$ 的取值集合 $B$;
(2) 设 $A=\{x \mid 3 a < x < a+2\}$ 为非空集合, 若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件, 求实 数 $a$ 的取值范围.
已知集合 $A=\{x \in \mathbf{R} \mid 0 < a x+1 \leq 3, a \neq 0\}$, 集合 $B=\{x \in \mathbf{R} \mid-1 < x \leq 2\}$. 若命题 $p: x \in A$, 命题 $q: x \in B$, 且 $p$ 是 $q$ 的充分而不必要条件, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知 $p: \forall m \in\{m \mid-1 \leq m \leq 1\}$, 不等式 $a^2-5 a-3 \geq \sqrt{m^2+8}$ 恒成立; $q: \exists x \in \mathbf{R}$, 使不等式 $x^2+a x+2 < 0$ 成立. 若 $p$ 是真命题, $q$ 是假命题, 求 $a$ 的取值范 围.
已知下列三个方程: $x^2+4 a x-4 a+3=0, x^2+(a-1) x+a^2=0$, $x^2+2 a x-2 a=0$, 其中至少有一个方程有实数根, 求实数 $a$ 的取值范围.