集合与常用逻辑用语2024届高考数学考点剖析专题卷

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集合与常用逻辑用语2024届高考数学考点剖析专题卷

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 集合

A = {x ∣ x < - 1

或

x \geq 3}, B = {x ∣ a x + 1 \leq 0}

, 若

B \subseteq A

, 则实数

a

的取值范围是

A.

[- \frac{1}{3}, 1)

B.

(- \infty, - 1) U [0, + \infty)

C.

[- \frac{1}{3}, 1]

D.

[- \frac{1}{3}, 0) U (0, 1)

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2. 设数集

M

同时满足条件:(1)

M

中不含元素-1, 0, 1；(2)若

a \in M

, 则

\frac{1 + a}{1 - a} \in M

. 则下列结论正确的是

A.

集合

M

中至多有 2 个元素

B.

集合

M

中至多有 3 个元素

C.

集合

M

中至少有 4 个元素

D.

集合

M

中有无穷多个元素

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3. 已知集合

A = {x ∣ 2 x - 9 < 0}, B = {x ∣ y = \frac{\ln (x - 1)}{x - 3}}

, 则

A

B =

A.

(1, 3) U (3, \frac{9}{2})

B.

[1, 3) U (3, \frac{9}{2})

C.

(1, \frac{9}{2})

D.

[1, \frac{9}{2})

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4. 已知集合

A = {x ∣ x = \frac{1}{3} (2 n + 1), n \in Z}, B = {x ∣ x = \frac{4}{3} n - 1, n \in Z}

, 则

A.

A

B = A

B.

A

B = \emptyset

C.

A U B = A

D.

A U B = Z

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5. 设全集

U = R, A = {x ∣ x \leq 1}, B = {x ∣ x^{2} - x - 2 < 0}

, 则图中阴影部分对应的集合为

A.

{x ∣ x \geq 1}

B.

{x ∣ 1 \leq x < 2}

C.

{x ∣ x > 1}

D.

{x ∣ 1 < x < 2}

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6. 下列命题中真命题有
(1)

p : \forall x \in R, x^{2} - x + \frac{1}{4} \geq 0

(2)

q

: “

a > 1, b > 1

”是“

a b > 1 ”

的充分不必要条件
(3)

r : \exists x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \leq 0

(4)

s

: 若

a < 0

, 则

a + \frac{1}{a} \leq - 2

A.

1 个

B.

2 个

C.

3 个

D.

4个

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7. 已知实数

x, y

, 则 “

x^{2} + y^{2} \leq 2

” 是 “

x + y \leq 2 \sqrt{2}

” 的

A.

必要不充分条件

B.

充分不必要条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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8. 不等式

x (x - 2) < 0

成立的一个充分不必要条件是

A.

x \in (0, 2]

B.

x \in (0, 2)

C.

x \in (0, 1)

D.

x \in (- \infty, 0]

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9. 已知命题

p : \exists x \in R, \sin x < 1

; 命题

q : \forall x \in R, e^{| x |} \geq 1

, 则下列命题中为真命题的是

A.

p \land q

B.

\neg p \land q

C.

p \land \neg q

D.

\neg (p \lor q)

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10. 已知命题

p

: 对任意的

x, y, z \in N^{*}, x^{3} + y^{3} \neq z^{3}

, 则

A.

\neg p

: 对任意的

x, y, z \in N^{*}, x^{3} + y^{3} = z^{3}

B.

\neg p

: 存在

x_{0}, y_{0}, z_{0} \in N^{*}, x_{0}^{3} + y_{0}^{3} = z_{0}^{3}

C.

\neg p

: 存在

x_{0}, y_{0}, z_{0} \in N^{*}, x_{0}^{3} + y_{0}^{3} \neq z_{0}^{3}

D.

\neg p

: 不存在

x_{0}, y_{0}, z_{0} \in N^{*}, x_{0}^{3} + y_{0}^{3} = z_{0}^{3}

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11. 若命题

p : \exists x \in [- 3, 3], x^{2} + 2 x + 1 \leq 0

, 则命题

p

的否定是

A.

\forall x \in [- 3, 3], x^{2} + 2 x + 1 > 0

B.

\forall x \in (- \infty, - 3) U (3, + \infty), x^{2} + 2 x + 1 > 0

C.

\exists x \in (- \infty, - 3) U (3, + \infty), x^{2} + 2 x + 1 \leq 0

D.

\exists x \in [- 3, 3], x^{2} + 2 x + 1 < 0

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12. 命题“

\forall x > 0, x + \frac{1}{x} \geq 2

”的否定是

A.

\forall x \leq 0, x + \frac{1}{x} < 2

B.

\forall x \leq 0, x + \frac{1}{x} \geq 2

C.

\exists x > 0, x + \frac{1}{x} < 2

D.

\exists x > 0, x + \frac{1}{x} \geq 2

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 设集合

A = {x + - 3 \leq x \leq 2}, B = {x ↓ k - 1 \leq x \leq 2 k + 1}

, 且

A \supseteq B

, 则实数

k

的取值范围是

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14. 设

p : \ln (2 x - 1) \leq 0, q : (x - a) [x - (a + 1)] \leq 0

, 若

q

是

p

的必要不充分条件, 则实数

a

的取值范围是

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15. 命题“有些负数满足不等式

(1 + x) (1 - 9 x) > 0

”用“

\exists

”或“

\forall

”可表述为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 已知集合

A = {2, 6}

.
(1) 若集合

B = {a + 1, a^{2} - 23}

, 且

A = B

, 求实数

a

的值;
(2) 若集合

C = {x ∣ a x^{2} - x + 6 = 0}

, 且

A

与

C

有包含关系, 求实数

a

的取值范围.

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17. 已知集合

A = {x ∣ 3 \leq 3^{x} \leq 27}, B = {x ∣ \log_{2} x > 1}

.
(1)分别求

A \cap B, (C_{R} B) \cup A

;
(2)已知集合

C = {x ∣ 1 < x < a}

, 若

C \subseteq A

, 求实数

a

的取值范围.

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18. 已知

p : \exists x \in R

, 使

m x^{2} - 4 x + 2 = 0

为假命题.
(1) 求实数

m

的取值集合

B

;
(2) 设

A = {x ∣ 3 a < x < a + 2}

为非空集合, 若

x \in A

是

x \in B

的充分不必要条件, 求实数

a

的取值范围.

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19. 已知集合

A = {x \in R ∣ 0 < a x + 1 \leq 3, a \neq 0}

, 集合

B = {x \in R ∣ - 1 < x \leq 2}

. 若命题

p : x \in A

, 命题

q : x \in B

, 且

p

是

q

的充分而不必要条件, 求实数

a

的取值范围.

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20. 已知

p : \forall m \in {m ∣ - 1 \leq m \leq 1}

, 不等式

a^{2} - 5 a - 3 \geq \sqrt{m^{2} + 8}

恒成立;

q : \exists x \in R

, 使不等式

x^{2} + a x + 2 < 0

成立. 若

p

是真命题,

q

是假命题, 求

a

的取值范围.

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21. 已知下列三个方程:

x^{2} + 4 a x - 4 a + 3 = 0, x^{2} + (a - 1) x + a^{2} = 0

x^{2} + 2 a x - 2 a = 0

, 其中至少有一个方程有实数根, 求实数

a

的取值范围.

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