2017年全国初中数学联合竞赛试题与参考答案

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2017年全国初中数学联合竞赛试题与参考答案

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 已知实数

a, b, c

满足

2 a + 13 b + 3 c = 90, 3 a + 9 b + c = 72

, 则

\frac{3 b + c}{a + 2 b} =

A.

B.

C.

D.

-1

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2. 若正整数

a, b, c

满足

a \leq b \leq c

且

a b c = 2 (a + b + c)

, 则称

(a, b, c)

为好数组. 那么, 好数组的个数为

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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3. 对于正整数

n

, 设

a_{n}

是最接近

n

的整数, 则

\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} =

A.

\frac{191}{7}

B.

\frac{192}{7}

C.

\frac{193}{7}

D.

\frac{194}{7}

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4. 设

A

是以

B C

为直径的圆上的一点,

A D ⊥ B C

于点

D

, 点

E

在线段

D C

上, 点

F

在

C B

的延长线上,满足

∠ B A F = ∠ C A E

. 已知

B C = 15, B F = 6, B D = 3

, 则

A E =

A.

4 \sqrt{3}

B.

2 \sqrt{13}

C.

2 \sqrt{14}

D.

2 \sqrt{15}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 使得等式

\sqrt{1 + \sqrt{1 + a}} = \sqrt[3]{a}

成立的实数

a

的值为

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6. 若实数

x, y

满足

x^{3} + y^{3} + 3 x y = 1

, 则

x^{2} + y^{2}

的最小值为

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7. 设

m, n

是正整数, 且

m > n

. 若

9^{m}

与

9^{n}

的末两位数字相同, 则

m - n

的最小值为

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8. 已知正整数

a, b, c

满足

2 a^{2} - 6 b x - 3 c + 9 = 0, - 6 a + b^{2} + c = 0

, 则

a^{2} + b^{2} + c^{2} =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 已知实数

x, y

满足

x + y = 3, \frac{1}{x + y^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y} = \frac{1}{2}

, 求

x^{5} + y^{5}

的值.

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10. 已知实数

a, b, c

满足

a \leq b \leq c, a + b + c = 16, a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{1}{4} a b c = 128

,求

c

的值.

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11. 求所有的正整数

m

, 使得

2^{2 m - 1} - 2^{m} + 1

是完全平方数.

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12. 如图,

O

为四边形

A B C D

内一点,

∠ O A D = ∠ O C B, O A ⊥ O D, O B ⊥ O C

.求证:

A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}

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13. 求所有的正整数数对

(a, b)

, 使得

a^{3} = 49 \times 3^{b} + 8

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14. 若

a^{2} = a + 1, b^{2} = b + 1 (a \neq b)

, 求

a^{2} + b^{2}

的值

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