解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=x(x-3)^2, x \in[1, a]$.
(1) 若 $f(x)$ 不单调, 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 若 $f(x)$ 的最小值为 $f(a)$, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且满足 $a_6-a_3=56, S_6-S_3=112$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_n=\frac{a_n}{S_n S_{n+1}}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
现有标号依次为 $1,2, \cdots, n$ 的 $n$ 个盒子, 标号为 1 号的盒子里有 2 个红球和 2 个白球, 其余盒子里都是 1 个红球和 1 个白球. 现从 1 号盒子里取出 2 个球放入 2 号盒子, 再从 2 号盒子里取出 2 个球放入 3 号盒子, $\cdots$, 依次进行到从 $n-1$ 号盒子里取出 2 个球放入 $n$ 号盒子为止.
(1) 当 $n=2$ 时, 求 2 号盒子里有 2 个红球的概率;
(2) 当 $n=3$ 时, 求 3 号盒子里的红球的个数 $\xi$ 的分布列;
(3) 记 $n$ 号盒子中红球的个数为 $X_n$, 求 $X_n$ 的期望 $E\left(X_n\right)$.
已知动点 $M$ 到点 $F(-1,0)$ 的距离与到直线 $l: x=-2$ 的距离之比等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1) 求动点 $M$ 的轨迹 $W$ 的方程;
(2) 过直线 $l$ 上的一点 $P$ 作轨迹 $W$ 的两条切线, 切点分别为 $A, B$, 且 $\angle A P B=60^{\circ}$,
(1)求点 $P$ 的坐标;
(2)求 $\angle A P B$ 的角平分线与 $x$ 轴交点 $Q$ 的坐标.