解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限: $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$.
计算：$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\int_0^x\left(1+\sin ^2 t\right)^2 \mathrm{~d} t}{x^2 \sin x}$.
解答如下问题:
(1)叙述闭区间套定理.
(2) 用闭区间套定理证明聚点定理.
证明: 若闭区间 $[a, b]$ 上的单调有界函数 $f(x)$ 能取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值，则 $f(x)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数.
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且已知
$$
x_1, x_2 \in(a, b), x_1 < x_2 \text { 且 } f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right) < 0 .
$$
证明: 存在 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
设无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(1) 证明: 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，则
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .
$$
(2) 若去掉 “一致连续” 能否推出 " $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ " ? 若可 以，请证明，否则举出反例.
若 $a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} x}{x}$ ，证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 条件收敛.
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$. 讨 论 $f$ 在原点的连续性，偏导数的存在性以及 $f$ 在原点的可微性.
证明: 方程 $x+\frac{1}{2} y^2+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ 在 $(0,0,0)$ 附近唯一确定隐函数 $z=f(x, y)$ ，并将 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处展开 为二阶带有皮亚诺余项的泰勒公式.
求积分
$$
I=\int_L e^x(1-\cos y) \mathrm{d} x-e^x(y-\sin y) \mathrm{d} y ，
$$
其中 $L$ 为曲线 $y=\sin x$ 从 $O=(0,0)$ 到 $A=(\pi,0) $ 段。