填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
1．线密度为 $\rho(x, y, z)$ 的空间曲线 $L$ 关于 $x$ 轴的转动惯量 $I_x=$ $\_\_\_\_$ ．
密度为 $\mu(x, y, z)$ 的空间曲面 $\Sigma$ 的质心坐标为 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ ．则它们的计算公式
$\bar{x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\bar{y}=$ $\_\_\_\_$ ， $\bar{z}=$ $\_\_\_\_$ ．
$L$ 是起点为 $A(1,2,3)$ 终点为 $B(-1,-2,0)$ 的光滑曲线．若不考虑它的方向，该曲线的弧长为 $s$ ，则积分 $\int_L 2 \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ， $\int_L 2 \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ， $\int_L \mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} y+3 \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$
$L$ 是顺时针方向的椭圆曲线 $x^2+9 y^2=1$ ，则积分 $\oint_{\underline{I}}-2 y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$ $\_\_\_\_$ ．
$\Sigma$ 是长方体 $|x| \leq 1 ;|y| \leq 2 ;|z| \leq 3$ 的表面外侧，则积分
$$
\oint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x+3 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=
$$
$L$ 是有向光滑闭曲线，$\Sigma$ 是以 $L$ 为边界且与 $L$ 正向联系的光滑曲面，则利用斯托克斯公式积分 $\oint_L \mathrm{e}^{x^2} y \mathrm{~d} x+\sin y^2 \mathrm{~d} y+x y^2 z^3 \mathrm{~d} z=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\oint_L\left(x^3+y+2\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是以 $A(-1,-1), B(1,-1)$ 以及 $C(0,1)$ 为顶点的三角形曲线．
求柱面 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$ 含在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 内的那部分面积．
设 $L$ 是圆柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $z=x+y$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去取逆时针方向，计算曲线积分 $\oint_L x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\frac{y^2}{2} \mathrm{~d} z$
设 $L_1: x^2+y^2=1, L_2: x^2+y^2=2, L_3: x^2+2 y^2=2, L_4: 2 x^2+y^2=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记 $I_i=\oint_{L_i}\left(y+\frac{y^3}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^3}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4)$ ，求 $\max \left\{I_1, I_2, I_3, I_4\right\}$ ．
求积分 $\oint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} S, \Sigma$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4 ; 0 \leq z \leq 4$ ．
求 $I=\iint_{\Sigma}(2 x+y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 x-y+3 z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x+2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $z=x^2+2 y^2-1$ ；位于 $z \leq 1$ 的下侧．
求 $I=\oint_L \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+4 y^2}$ ，其中 $L$ 是逆时针方向运行的椭圆 $4 x^2+3 y^2=9$ ．
在 $x>0$ ，求满足 $\phi(\pi)=1$ 的可导函数 $\phi(x)$ ，使得积分 $\int_L[\sin x-\phi(x)] \frac{y}{x} \mathrm{~d} x+\phi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，并计算积分 $\int_{(1,0)}^{(\pi, \pi)}[\sin x-\phi(x)] \frac{y}{x} \mathrm{~d} x+\phi(x) \mathrm{d} y$ ．