单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A=\left(\begin{array}{lll}x_1 & b_1 & c_1 \\ x_2 & b_2 & c_2 \\ x_3 & b_3 & c_3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}y_1 & b_1 & c_1 \\ y_2 & b_2 & c_2 \\ y_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ ，且 $|A|=3,|B|=-4$ ，则 $|A+B|$ 等 于
$\text{A.}$ -1 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ -2 ；
$\text{D.}$ -4 ．
设 $\alpha^T=\left(a_1, a_2, \cdots, a_m\right), \beta^T=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$ 是两个非零向量，则矩阵 $A=\alpha \beta^T$ 的秩为
$\text{A.}$ 1；
$\text{B.}$ 2；
$\text{C.}$ m ；
$\text{D.}$ n ．
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s>1)$ 线性相关的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中每个向量都可由其余向量线性表示；
$\text{B.}$ 对任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，都有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0$ ；
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有一个向量是其余向量的线性组合；
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中存在有部分向量组线性相关．
设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的三个解，则 是齐次线性方程组 $A x=0$ 的解．
$\text{A.}$ $\eta_1+\eta_2-\eta_3$ ；
$\text{B.}$ $2 \eta_1-3 \eta_2+\eta_3$ ；
$\text{C.}$ $\eta_1+\eta_2+\eta_3$ ；
$\text{D.}$ $\eta_1+2 \eta_2-4 \eta_3$ ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$2 n$ 元排列 $1.3 .5 \cdots(2 n-1)(2 n)(2 n-2) \cdots 2$ 的逆序数是
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}3 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & x & 2 & 3 \\ 5 & 1 & -1 & -1\end{array}\right|$ 中元素 $x$ 所对应的代数余子式的值
若 $A$ 为 4 阶方阵且 $|A|=3$ ，则 $\left|A A^T\right|=$
设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $-1 、 1 、 2, B=2 A^2-A+E$ ，则 $B$ 的特征值为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n+1$ 阶行列式
$D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc}1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 1-a_1 & a_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1-a_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1-a_{n-1} & a_n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1-a_n\end{array}\right|$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，且 $A B+4 E=A^2+2 B$ ，求 $B$解：
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\left|A^4\right|$ 及 $A^{-1}$
设向量组 $A: \alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -3 \\ 4\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -6 \\ 8\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 4 \\ -1 \\ 2\end{array}\right), \alpha_5=\left(\begin{array}{c}3 \\ -9 \\ -3 \\ 3\end{array}\right)$ ．
（1）求向量组 A 的秩；（2）求 A 的一个最大无关组；（3）把其余向量用最大无关组表出．
求线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x_1+2 x_2-5 x_3+4 x_4=0 \\ 3 x_1-x_2+3 x_3-3 x_4=0 \\ 3 x_1+5 x_2-13 x_3+11 x_4=0\end{array}\right.$ 的一个基础解系和通解．
设有线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1 \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+x_4-3 x_5=a \\ x_2+2 x_3+2 x_4+6 x_5=3 \\ 5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4-x_5=b\end{array}\right.$ ，
问 $a, b$ 取何值时方程组无解？有解？并在有解时求其通解．
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0 & a \\ a & 0\end{array}\right)(a \neq 0)$ 的特征值与特征向量．
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2=A$ ，证明：$E+A$ 可逆，并求 $(E+A)^{-1}$ ．