单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征值之一是
$\text{A.}$ $\lambda^{-1}|\boldsymbol{A}|^n$ ．
$\text{B.}$ $\lambda^{-1}|\boldsymbol{A}|$ ．
$\text{C.}$ $\lambda|\boldsymbol{A}|$ ．
$\text{D.}$ $\lambda|\boldsymbol{A}|^n$ ．
设 $\lambda=2$ 是非奇异矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则矩阵 $\left(\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^2\right)^{-1}$ 有一特征值等于
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{P}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，已知 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则矩阵 $\left(\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}\right)^{\mathrm{T}}$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{\alpha}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{P} \boldsymbol{\alpha}$ ．
$\text{D.}$ $\left(\boldsymbol{P}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆．
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}+2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$ ．
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$ ．
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$ ．
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$ ．
$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 具有 $n$ 个不同的特征值是 $\boldsymbol{A}$ 与对角阵相似的
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分而非必要条件．
$\text{C.}$ 必要而非充分条件．
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件．
设矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{B}$ ，则秩 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})$ 与秩 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$ 之和等于
$\text{A.}$ 2 ．
$\text{B.}$ 3．
$\text{C.}$ 4 ．
$\text{D.}$ 5 ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $\boldsymbol{A}$的属于特征值 -1 的特征向量，则满足 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 为
$\text{A.}$ $\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_3\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_3\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2\right)$ ．
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数．
$\text{C.}$ $a=2, b=0$ ．
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征值和特征向量．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 都相似于一个对角矩阵．
$\text{D.}$ 对任意常数 $t, t \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 与 $t \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}$ 相似．
$\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ ．
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．