解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B}\right) \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{-1}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 4 阶单位矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵，
$$
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right),
$$
求 $A$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}+2 \boldsymbol{X}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{X}$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{\cdot}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ．
（I）求 $a$ 的值；
（II）若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，求 $\boldsymbol{X}$ ．
已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足矩阵方程 $\boldsymbol{A}^2-3 \boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ，其中 $\boldsymbol{A}$ 给定， $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵．
证明 ： $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求出其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对换后得到的矩阵记为 $\boldsymbol{B}$ ．
（I）证明 $\boldsymbol{B}$ 可逆；
（II）求 $A B^{-1}$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是三维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置， $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\beta}$ 的转置．证明：
（I）$r(\boldsymbol{A}) \leqslant 2$ ；
（II）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则 $r(\boldsymbol{A}) < 2$ ．