单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
若正实数 $a, b$ 满足 $a>b$ ，且 $\ln a \cdot \ln b>0$ ，则下列不等式一定成立的是
$\text{A.}$ $\log _a b < 0$
$\text{B.}$ $a-\frac{1}{b}>b-\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $2^{a b+1} < 2^{a+b}$
$\text{D.}$ $a^{b-1} < b^{a-1}$
设 $a=0.1 \mathrm{e}^{0.1}, b=\frac{1}{9}, c=-\ln 0.9$ ，则
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $c < b < a$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $a < c < b$
设 $a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}$ -1 ．则
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $b < a < c$
$\text{D.}$ $c < a < b$
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right)$ ， $g(2+x)$ 均为偶函数，则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $g\left(-\frac{1}{2}\right)=0$
$\text{C.}$ $f(-1)=f(4)$
$\text{D.}$ $g(-1)=g(2)$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f(x)=\frac{x^a}{a^x}(x>$ 0）．
（1）当 $a=2$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x) =\frac{1}{x}-x+a \ln x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1, x_2$ ，证明：
②$$
\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2} < a-2 .
$$
已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a- a \ln b=a-b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a}+\frac{1}{b} < \mathrm{e}$ ．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x$ 和 $g(x)= a x-\ln x$ 有相同的最小值．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：存在直线 $y=b$ ，其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．