单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域具有二阶连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)>0, f^{\prime \prime}(0) < 0$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $|f(x)|$ 的极值点，但 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $|f(x)|$ 的极值点，但 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $|f(x)|$ 的极值点，且 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $|f(x)|$ 的极值点，且 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
设 $0 < a < b$ ，下列选项正确的是
$\text{A.}$ $\ln \frac{b}{a}>\frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{B.}$ $\ln \frac{b}{a} < \frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{C.}$ $\ln \frac{b}{a}=\frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{D.}$ $\ln \frac{b}{a}$ 与 $\frac{2(b-a)}{a+b}$ 的大小关系无法确定．
设 $f_1(x), f_2(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_1, C_2$ 为两个任意常数，则 $C_1 f_1(x)+C_2 f_2(x)$ 是该方程通解的充分条件是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)-f_2(x) f_1^{\prime}(x)=0$ ．
$\text{B.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)+f_2(x) f_1^{\prime}(x)=0$ ．
$\text{C.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)+f_2(x) f_1^{\prime}(x) \neq 0$ ．
$\text{D.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)-f_2(x) f_1^{\prime}(x) \neq 0$ ．
若反常积分 $I=\int_1^{+\infty} \frac{x+1}{x^p \sqrt{x^q-1}} \mathrm{~d} x$ 收敛（ $p, q$ 为正常数），则 $p, q$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4} < 1$ ．
$\text{B.}$ $0 < q < 2, p+q>2$ ．
$\text{C.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4}>1$ ．
$\text{D.}$ $q>2, p+\frac{q}{2}>4$ ．
设非零矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 存在两个不同的特征值，且满足 $A^2=k A(k \neq 0)$ ，则
$\text{A.}$ $a+d \neq 0$ ．
$\text{B.}$ $a+d=0$ ．
$\text{C.}$ $b+c=0$ ．
$\text{D.}$ $b+c \neq 0$ ．
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若线性方程组 $A x=0$ 的解都是 $B x=0$ 的解，则下列线性方程组中与 $A x=0$ 必同解的个数为
（1）$(A+B) x=0$ ；
（2）$A B x=0$ ；
（3）$B A x=0$ ；
（4）$\binom{A-B}{A+B} x=0$ ；
（5）$\binom{A}{B} x=0$ ．
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，那么下列矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ 中，与 $A$ 合同的矩阵有
$\text{A.}$ 3 个．
$\text{B.}$ 2 个．
$\text{C.}$ 1 个．
$\text{D.}$ 0 个．
已知事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率为 $p$ ，在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 发生的概率为 $\frac{p}{2}$ ，则 $A, B$ 至少有一个发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3 p}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{3 p-p^2}{2}$ ．
$\text{C.}$ $p-\frac{p^2}{2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{p(1-p)}{2}$ ．
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自几何分布总体 $X$ 的样本观测值，$X$ 的概率分布为
$$
P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}, k=1,2, \cdots .
$$
要使该样本值中等于 2 个数的期望达到最大，则 $p=$（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$ ．
已知两个独立的随机变量 $X$ 与 $Y$ ，其中 $X$ 服从参数 $\lambda=1$ 的指数分布，$Y$ 为离散随机变量，其取值为 $y_1=-1, y_2=0, y_3=1$ ，分布为 $P\left\{Y=y_i\right\}=\frac{1}{3}, \mathrm{i}=1,2,3$ ．若 $Z=\max \{X, Y\}$ ，则 $P\{Z=1\}=($
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ 0 ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\int_{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}^y\left|\sin t^2\right| d t+\int_0^{\sin x} \sqrt{1+t^3} d t=0$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为
已知 $f(x)$ 是非负的连续函数，且 $f(x) \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}+2 a_n=3 n+4 \\ a_0=1,\end{array}\right.$ 则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3 n+1}{a_n}=$
已知 $f(x)=\frac{1}{x^2-5 x+6}$ ，则 $f^{(n)}(4)=$
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & a-6 & -2 \\ a-3 & 2 & -4 \\ 4 & 2 & -4\end{array}\right)$ ，若存在两个不同的三阶矩阵 $B$ 和 $C$ ，使得 $A B=A C$ ，则 $a=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，记 $U=\max (X, Y)$ ，则 $E(U)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+2 y \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f, \varphi$ 均为二阶可导函数．
（1）求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ；
（2）若 $f=\varphi,\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{x=1}=-2 y^2$ ，且曲线 $y=f(x)$ 与 $2 y=-1+x y^3$ 在点 $(1,-1)$ 处相切，求 $f(x)$ 的表达式。
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且对任意的 $x, y$ ，均有
$$
f^2(x)-f^2(y)=f(x+y) f(x-y) .
$$
$(I)$ 求 $f(0)$ ；
（II）证明：$f^{\prime \prime}(x) f(y)=f(x) f^{\prime \prime}(y)$ ；
（III）若 $f^{\prime \prime}(1)=f(1)=1$ ，求 $f(x)$ ．
计算二重积分 $I=\iint_D \frac{1+x^2 y^3}{\left(1+x^2+y^2\right)^{3 / 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2, x \geqslant 1\right\}$ ．
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3+2}{(n+1)!}(x-1)^n$ 的收敛域与和函数．
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & a & 6\end{array}\right)$ 可相似对角化．
（I） 求参数 $a$ ；
（II）求正交变换 $x=Q y$ ，化二次型 $f=x^T A^2 x$ 为标准形．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 概率密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 < x < 1,0 < y < 2, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 试求：
$(I) Z= \begin{cases}-1, & Y < 1-X, \\ 1, & 1-X \leqslant Y < 2(1-X), Z \text { 的分布函数 } F_Z(z) ; \\ 2, & Y \geqslant 2(1-X),\end{cases}$
（II）$T=2 X+Y$ 的密度函数 $f_T(t)$ ；
（III） $\operatorname{cov}(X, T)$ ．