单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列说法不正确的是
$\text{A.}$ 设 $X$ 是连续型随机变量，$a$ 是一个实数，则 $P\{X=a\}=0$ ；
$\text{B.}$ 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ ，则 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t=1$
$\text{C.}$ 设随机变量 $X$ 的分布函数是 $F(x)$ ，则 $F(x)$ 是连续的；
$\text{D.}$ 设离散型随机变量 X 的分布律是 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k, k=1,2, \cdots$ ，则 $\sum_{k=1}^{\infty} p_k=1$ ；
若协方差 $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$ ，以下哪个选项不是其充分且必要条件 。
$\text{A.}$ $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
$\text{B.}$ $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
$\text{C.}$ $E(X Y)=E(X) E(Y)$
$\text{D.}$ $\rho_{X Y}=0$
随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=0.5, Z=-2 X+1$ ，则 $\rho_{Y Z}=$（ ）．
$\text{A.}$ -0.5
$\text{B.}$ 0.5
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
已知某班概率统计课程成绩的平均分是 80 ，方差是 16 ，利用切比雪夫不等式估算，随机抽取一名学生其成绩及格（在 60 到 100 分之间）的概率至少是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{16}{25}$ ；
$\text{B.}$ $\frac{24}{25}$ ：
$\text{C.}$ $\frac{15}{16}$ ；
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的一个样本， $\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则有
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$ ；
$\text{B.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$ ；
$\text{C.}$ $\bar{X} / S \sim t(n-1)$ ；
$\text{D.}$ $(n-1) S^2 \sim \chi^2(n-1)$
假设检验中，关于显著性检验，下列说法错误的是（）。
$\text{A.}$ 显著性检验的基本思想是＂小概率原则＂，即小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生．
$\text{B.}$ 显著性水平 $\alpha$ 是该检验犯第一类错误的最大概率，即＂拒真＂概率．
$\text{C.}$ 如果在 $\alpha=0.01$ 下拒绝 $\mathrm{H}_0$ ，那么在 $\alpha=0.05$ 下一定拒绝 $\mathrm{H}_0$ 。
$\text{D.}$ 如果在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $\mathrm{H}_0$ ，那么在 $\alpha=0.01$ 下一定拒绝 $\mathrm{H}_0$ 。
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知事件 $A$ 和 $B$ 互斥，$P(B)=0.3, P(A-B)=0.2$ ，则 $P(A \cup B)=$
三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，则三人中至少有一人能破译此密码的概率是
设打车等待时间 $X$（分钟）在 $(0,10)$ 上服从均匀分布，某人周一至周五均打车上班，则至少有一天等待时间大于 5 分钟的概率为
二维正态分布的参数形式为 $N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，若随机变量 $(X, Y) \cap N(1,2,4,1,0)$ ，则 $2 X-3 Y$ 服从 $\_\_\_\_$分布（要求分布包括参数）
设 $X_1, X_2, \cdots, X_5$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，则 $\mathrm{C}=$ $\_\_\_\_$时，
$Y=\frac{C\left(X_1+X_2\right)}{\left(X_3^2+X_4^2+X_5^2\right)^{1 / 2}}$ 服从 $t$ 分布．
设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知其标准差是 $\sigma$ 。从中随机抽取 $n$ 名， $\bar{X}$ 是样本均值，则该质量指标平均值的置信水平为 $95 \%$ 的双侧置信区间为 $\_\_\_\_$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对感染某肺炎病毒的人进行检测显示阳性的概率是 0.95 ，而对未感染者进行检测显示阳性的概率为 0.01 。某群体中感染该肺炎病毒的概率是 $1 \%$ ，
（1）若在该群体中随机选择一人进行检测，则结果显示阳性的概率是多少？
（2）若一人的检测结果为阳性，则此人确实感染该肺炎病毒的概率是多少？
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在单位圆上服从均匀分布，具有概率密度
$$
f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{\pi}, & x^2+y^2 \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
（1）求 $P\{X>Y\}$
（2）求 $(X, Y)$ 分别关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度；
（3）$X$ 与 $Y$ 是否相互独立，为什么？
（4）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 和 $P\left\{\left.X < \frac{1}{2} \right\rvert\, Y=0\right\}$
保险公司有 10000 个投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为 200 元，标准差为 800 元，利用中心极限定理求索赔总金额少于 1800000 的概率（答案可含有 $\Phi(\cdot)$ ，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数）。
设总体 $X$ 服从均匀分布 $U(\theta, 2 \theta)$ ，其中 $\theta$ 为末知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。求：
（1）求 $\theta$ 的矩估计 $\hat{\theta_1}$ ，
（2）判断 $\hat{\theta}_1$ 是否为无偏估计，说明原因．
（2）求 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta_2}$ ．
设某种稀有化工原料的市场需求量为随机变量 X （吨），已知 X 在区间［20，40］上服从均匀分布，设每销售一吨可挣得 3 万元；若滞销固积于仓库，则每吨亏损保养费 1 万元。
（1） 若以 $a \in[20,40]$ 表示准备生产的该原料的数量，求利润的期望值（表示为 $a$ 的函数）．
（2） 要使利润的期望值最大，应生产多少该原料？
某地区年龄在 20－30 岁之间的男性的体重服从正态分布，从中随机地抽取 36 位男性，算得平均体重 $68(\mathrm{~kg})$ ，样本标准差 10 。问在显著水平 $\alpha=0.05$ 下，是否可认为此地 20－30 岁之间的男性的平均体重为 70 ？并给出检验过程。（附：$t_{0.025}(35)=2.030$ ， $\left.t_{0.05}(35)=1.690 ; \quad t_{0.025}(36)=2.028, t_{0.05}(36)=1.688\right)$