单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
在 $\triangle O A B$ 中， $\overrightarrow{O A}=3 \overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O D}, A D, B C$ 的交点为 $M$ ，过 $M$ 作动直线 $l$ 分别交线段 $A C, B D$ 于 $E, F$ 两点．若 $\overrightarrow{O E}=\lambda \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O F}=\mu \overrightarrow{O B}(\lambda, \mu>0)$ ，则 $\lambda+\mu$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{3+\sqrt{3}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{2+2 \sqrt{3}}{7}$
$\text{C.}$ $\frac{3+2 \sqrt{3}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{3+2 \sqrt{2}}{5}$
2000 多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O, B F \perp A C, D H \perp A C, A E \perp B D, C G \perp B D$ ，且点 $E$ 为线段 $B O$ 的黄金分割点，则 $\overrightarrow{B F}=$
$\text{A.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{5+\sqrt{5}}{10} \overrightarrow{B G}$
$\text{B.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{5-\sqrt{5}}{10} \overrightarrow{B G}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{5-\sqrt{5}}{10} \overrightarrow{B G}$
$\text{D.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{\sqrt{5}}{5} \overrightarrow{B G}$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}=\lambda \vec{b}(\lambda>0),|\vec{b}|=2,|\vec{a}-\vec{b}|=1$ ，则 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 15
$\text{C.}$ -3 或 15
$\text{D.}$ 3 或 15
如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中，$A B \| C D, A B=5, A D= 4, D C=1, E$ 是线段 $A B$ 上一点，且 $A E=4 E B$ ，动点 $P$ 在以 $E$ 为圆心， 1 为半径的圆上，则 $\overrightarrow{D P} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}-\sqrt{21}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}-6$
$\text{C.}$ $\sqrt{21}-6$
$\text{D.}$ $-\sqrt{3}$
若向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1,(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a},|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ $\sqrt{10}$
已知向量 $\vec{a}=(-1,-2), \vec{b}=(4,-2)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$ ，则
$\text{A.}$ $4 \lambda \mu=1$
$\text{B.}$ $4 \lambda \mu=-1$
$\text{C.}$ $4(\lambda+\mu)=1$
$\text{D.}$ $4(\lambda+\mu)=-1$
在 $\triangle A B C$ 中，若 $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=2,|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}|=3$ ，则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
已知非零向量 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 满足 $\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{A B}|}=\frac{\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 且 $\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|} \cdot \frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}=\frac{1}{2}$ ，则 $\triangle A B C$ 为
$\text{A.}$ 三边均不相等的三角形
$\text{B.}$ 直角三角形
$\text{C.}$ 等腰非等边三角形
$\text{D.}$ 等边三角形
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知正方形 $A B C D$ 边长为 $2 \sqrt{2}, M N$ 是正方形 $A B C D$ 的外接圆的一条动弦，$|M N|=2, P$ 为正方形 $A B C D$ 边上的动点，则 $\overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{P N}$ 的最大值为
已知正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 $2, P$ 是正六边形 $A B C D E F$ 边上任意一点，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的最大值为
设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_1 A_2 \cdots A_8$ 的边 $A_1 A_2$ 上，则 $\overrightarrow{P A}_1^2+{\overrightarrow{P A_2}}^2+\cdots+\overrightarrow{P A}_8^2$ 的取值范围是