2000 多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O, B F \perp A C, D H \perp A C, A E \perp B D, C G \perp B D$ ，且点 $E$ 为线段 $B O$ 的黄金分割点，则 $\overrightarrow{B F}=$
$\text{A.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{5+\sqrt{5}}{10} \overrightarrow{B G}$
$\text{B.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{5-\sqrt{5}}{10} \overrightarrow{B G}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{5-\sqrt{5}}{10} \overrightarrow{B G}$
$\text{D.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \overrightarrow{B A}+\frac{\sqrt{5}}{5} \overrightarrow{B G}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$