解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $O$ 为坐标原点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上，椭圆 $C$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，且 $\left|F_1 F_2\right|=2 \sqrt{3}$.
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若点 $P_0, P_1, P_2$ 在椭圆 $C$ 上，原点 $O$ 为 $\triangle P_0 P_1 P_2$ 的重心，证明：$\triangle P_0 P_1 P_2$ 的面积为定值．
已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线所成的锐角为 $60^{\circ}$ ，且点 $P(2,3)$ 为 $E$ 上一点．
（1）求 $E$ 的标准方程；
（2）设 $M$ 为 $E$ 在第一象限的任一点，过 $M$ 的直线与 $E$ 恰有一个公共点，且分别与 $E$ 的两条渐近线交于点 $A$ ，$B$ ，设 $O$ 为坐标原点，证明：$\triangle A O B$ 面积为定值．
已知双曲线 $C$ 与椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为 2 ．
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）设 $D$ 为双曲线 $C$ 的右顶点，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同于 $D$ 的 $E, F$ 两点，若以 $E F$ 为直径的圆经过点 $D$ 且 $D G \perp E F$ 于 $G$ ，证明：存在定点 $H$ ，使得 $|G H|$ 为定值．
已知抛物线 $C_1: y^2=4 x-4$ 与双曲线 $C_2: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4-a^2}=1(1 < a < 2)$ 相交于两点 $A, B, F$ 是 $C_2$ 的右焦点，直线 $A F$分别交 $C_1, C_2$ 于 $C, D$（不同于 $A, B$ 点），直线 $B C, B D$ 分别交 $x$ 轴于 $P, Q$ 两点．
（1）设 $A\left(x_1, y_1\right), C\left(x_2, y_2\right)$ ，求证：$y_1 y_2$ 是定值；
（2）求 $\frac{|F Q|}{|F P|}$ 的取值范围．
已知 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), C\left(x_3, y_3\right)$ 三个点在椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ ，椭圆外一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{A O}, \overrightarrow{B P}=2 \overrightarrow{C P},(O$为坐标原点）．
（1）求 $x_1 x_2+2 y_1 y_2$ 的值；
（2）证明：直线 $A C$ 与 $O B$ 斜率之积为定值．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设不过点 $T(-2,1)$ 的直线 $/$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $T A, T B$ 分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，且 $|T M|=|T N|$ ．求证直线 $I$ 的斜率是定值，并求出该定值．